Экспоненциальный рост

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его ) . Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

или
(Здесь - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть - число особей, добавившихся к популяции за время , тогда если в популяции в общей сложности особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:
где - число особей в популяции на начало отсчета, а - время, прошедшее с этого момента. Символ обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

Когда намного меньше , членом можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда приближается к своему максимальному значению , значение стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая , логистическое уравнение, уравнение Вольтерры, уравнение Лотки-Вольтерры. (Вито Вольтерра, 1860–1940 - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Отношения хищник-жертва

Отношения между хищниками и их жертвами развиваются циклически, являясь иллюстрацией нейтрального равновесия.

Иногда простая математическая модель хорошо описывает сложную биологическую систему. Примером этого служат долговременные отношения между видами хищника и жертвы в какой-либо экосистеме. Математические расчеты роста популяции отдельно взятого вида (см. выше) показывают, что пределы плотности популяции можно описать простыми уравнениями, которые на выходе дают характерную S-образную кривую. Это - кривая численности популяции, которая растет экспоненциально, пока она небольшая, а затем выравнивается, когда она достигает пределов возможности экосистемы поддерживать ее. Простое продолжение этой концепции позволяет нам понять экосистему, в которой взаимодействуют два вида - хищник и жертва.

Итак, если число растительноядных жертв , а число плотоядных хищников , то вероятность, что хищник встретится с травоядным, пропорциональна произведению . Другими словами, чем выше численность одного из видов, тем выше вероятность таких встреч. В отсутствие хищников популяция жертвы будет расти экспоненциально (по крайне мере вначале), а в отсутствие жертв популяция хищника сократится до нуля - либо из-за голода, либо в результате миграции. Теперь, если - изменение популяции растительноядных за время , а изменение популяции плотоядных за тот же интервал времени, то две популяции описываются уравнениями:

Здесь - скорость роста численности травоядных в отсутствие хищников, а - скорость сокращения численности плотоядных в отсутствие травоядных. Постоянные и - скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, и скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знак минус в первом уравнении показывает, что встречи сокращают популяцию жертвы, а знак плюс во втором говорит о том, что встречи увеличивают популяцию хищника. Как видите, любое изменение численности травоядных влияет на численность плотоядных, и наоборот. Две популяции необходимо рассматривать вместе.

Решение этих уравнений показывает, что обе популяции развиваются циклически. Если популяция травоядных увеличивается, вероятность встреч хищник-жертва возрастает, и, соответственно (после некоторой временной задержки), растет популяция хищников. Но рост популяции хищников приводит к сокращению популяции травоядных (также после некоторой задержки), что ведет к снижению численности потомства хищников, а это повышает число травоядных и так далее. Эти две популяции как бы танцуют вальс во времени - когда изменяется одна из них, за ней следом изменяется и другая.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Одним из величайших мифов, на котором зиждилась экономика конца двадцатого столетия, был миф экспоненциального роста. Предполагалось, что технологии будут меняться еще быстрее, так что экономика тоже будет расти по экспоненте, сделав нас всех богаче наших родителей и несоизмеримо богаче наших прадедов. Однако, похоже, с 2000 года все пошло не так, по крайней мере, в экономике. Проблема частично связана с оттоком капитала в развивающиеся рынки, ставшим возможным благодаря Интернету и современным коммуникациям. Однако за рамками даже этой неудобной реальности лежит по-настоящему тревожная мысль о том, что технический прогресс, и таким образом, возможность улучшения уровня жизни, может вовсе и не вызывать никакого экспоненциального роста.

В видении нескольких энтузиастов вера в экспоненциальный технический прогресс трансформировалась в сингулярность, которая либо уже происходит, либо вот-вот нас настигнет. Предполагается, что она приведет к дальнейшей акселерации прогресса, которая будет такой мощной, что будущее истории человечества будет очень сильно отличаться от прошлого.

Но перед тем, как приветствовать появление сингулярности, следует отметить, что, по мнению сторонников этой теории, она будет вызвана появлением более умных, чем люди, машин, которые впоследствии одержат верх, создадут еще более умных роботов и оставят человечество «в хвосте». Таким образом, сингулярность будет представлять собой не почти бесконечное улучшение качества жизни человечества, потому что, по-видимому, такие сверхразумные машины не особенно будут интересоваться уровнем жизни людей – или вообще захотят использовать нас как подопытных или домашних животных. (Если последнее, я, несомненно, окажусь в первых рядах претендентов на ликвидацию – вряд ли я обладаю качествами домашнего животного, регулярно проявляемых нашей кошкой Евдоксией).

Подумав логически, можно выделить три сингулярности, уже имевших место в истории человечества: появление речи, переход от кочевой жизни к оседлому сельскому хозяйству, а впоследствии Промышленная революция. Каждое из этих явлений десятикратно ускоряло развитие человечества, так что изменения, на которые под влиянием одной только эволюции уходили миллионы лет, после появления речи начали происходить за сотни тысяч лет, с изобретением земледелия – за десятки тысяч лет, и всего за два-три столетия – после Промышленной революции. Каждое из этих изменений совершенно меняло жизнь; она также двигалась в более быстром темпе, а после Промышленной революции за одну короткую человеческую жизнь происходят громадные технологические сдвиги.

Стоит подробнее остановиться на сингулярности Промышленной революции. Она продолжалась примерно 200 лет, и ни одна из ее первых инновация не привносила существенных жизненных изменений. Машина Ньюкомена (Newcomen) для откачки воды в шахтах, изобретенная в 1712 году, не привела к серьезным изменениям напрямую, за ней не последовало никакого намного более совершенного двигателя, как у Джеймса Ватта (James Watt) , до 1769 года (а двигатели Уотта вошли в широкое применение лишь в 1790-е годы). Однако технологическая революция сопровождалась столь же важной революцией в человеческом мышлении, которая началась примерно с основания Королевского научного общества в 1662 году и продолжилась «Богатством наций » Адама Смита (Adam Smith) (в 1776 году) до начала 19-го века.

Таким образом, даже несмотря на то, что гражданин 1785 года не особенно наслаждался техническими достижениями по сравнению с его предком из 1660 года, в то время как веком раньше алхимики высмеивались на картине знаменитого Джозефа Райта (Joseph Wright), сейчас она служит обложкой для «Алхимиков потерь ». Первые громадные технические плоды Промышленной революции появились позднее – текстильное производство приняло масштаб, только начиная с 1790-х годов, а сеть железных дорог появилась только после 1830 года – но умственные изменения, сформировавшие сингулярность, уже произошли к 1785 году или около того.

В этом смысле нам пока не грозит никакая сингулярность. Интернет, кардинально изменивший мировые коммуникации и наш образ жизни, является не более существенным революционным сдвигом, чем электрический свет, телефон или автомобиль. Жизнь в 2010 году на самом деле отличается от жизни в 1995 году. Сегодня мы можем организовать мировое производство или компанию по оказанию услуг намного эффективнее, чем в 1995 году. Большую часть жизни вне сна молодежь проводит в Интернете или в разговорах по мобильному телефону, что до 1995 года она делать не могла.

Однако так было и через 15-20 лет после появления предыдущих судьбоносных технологий. В 1845 году, после изобретения железных дорог, модель путешествий уже отличалась от модели 1830 года. В 1905 году, после изобретения электричества, городские модели работы в вечернее время и развлечений очень сильно отличались от моделей 1890 года. Подобно этому, жизнь в сельской местности Америки в 1925 году с появлением «Жестянки Лиззи» (Ford Model T) стала совершенно иной, чем в 1910 году.

Таким образом, каждое из этих изобретений кардинально меняло какие-то стороны жизненного уклада, но при этом они все же не ускоряли сам процесс изобретения и прогресс, как Промышленная революция. После распространения изобретений жизнь становилась другой, но темп технического прогресса был весьма умеренным. Интернет похож на инновацию подобного типа: он существенно изменил нашу жизнь, но не настолько ускорил изменения, как Промышленная революция, и предпосылок к этому нет. В самом деле, кто-то может справедливо возразить, что поколение, ставшее свидетелем большей части революционных изменений, жило во времена моей двоюродной бабушки Беатрисы, которая родилась в 1889 году и умерла в 1973 году. Во времена ее детства применялось газовое освещение и тягловые лошади, а в старости уже вовсю летали на самолетах и побывали на Луне.

В перспективе существуют три вероятных технологических достижения, потенциально способных ускорить темп изменений, даже если они не вызовут сингулярности. Это: создание машины умнее человека, открытие методов манипуляций с генами, способных увеличить когнитивные способности человека, а также открытия технического, медицинского или генетического характера, которые могут привести к значительному увеличению продолжительности человеческой жизни.

Возможность появления супер-робота считалась самой популярной причиной предполагаемой сингулярности, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это вряд ли приведет к ней. Приверженцы теории сингулярности любят цитировать закон Мура – теорию, предложенную Гордоном Муром (Gordon Moore) в 1965 году, согласно которой компьютерная скорость обработки данных удваивается каждые два года. Однако в реальности мы всерьез приближаемся к пределу этой прогрессии; сдерживающими факторами являются скорость света, энергия, требуемая для работы микропроцессоров (которые выделяют тепло), длина волны электромагнитного излучения и размер атомных структур.

Через пару поколений по закону Мура мы приблизимся к временному барьеру, который существенно усложнит прогресс, а через 5-6 поколений по этому же закону – к барьеру постоянному, за которым при вообразимых на данный момент технологиях прогресс будет невозможен. Нужно признать, что дальнейший прогресс в сфере компьютерного интеллекта реализуем путем улучшения программирования и архитектуры с массовым параллелизмом, но реальность такова, что после прогресса 2015-2020 годов в этой области начнется существенное ЗАМЕДЛЕНИЕ, а не ускорение. Так же как и последним, действительно революционным изменением в дизайне автомобилей было изобретение автоматической трансмиссии в 1939 году, очевидно, бесконечный прогресс в машинном проектировании постепенно достигнет естественного предела.

Генная инженерия с целью улучшения умственных способностей человека, несомненно, изменит наш мир, но это, вероятно, случится очень нескоро, потому что таким изменениям будут резко противостоять большинство западных религиозных групп и правительств. Даже простое клонирование, которое является простым воспроизведением существующей особи, не намного продвинулось за десять лет, и может задержаться в развитии на целое поколение в будущем. Даже с разрешением правительств могут быть проведены проверки на безопасность, необходимые перед началом экспериментов по расширению интеллектуальных возможностей, существует вероятность того, что первые подобные испытания просто приведут к увеличению умственных способностей до существующего уровня, а не к их расширению. Кроме того, из-за биологической потребности этих детей в созревании до 15-летнего возраста, получения высшего образования в течение последующих 5-10 лет, результат этих изменений проявится не ранее чем через 50 лет в будущем. В этом смысле супер-робот, будь он реальным, может быть создан быстрее, так как он сразу будет взрослым! Учитывая тот факт, что первые экземпляры Улучшенного Человека будут составлять ничтожную часть человеческой/новой человеческой расы, становится очевидно, что никакого макро-ускорения отсюда не следует ожидать до следующего века.

Третья потенциальная технология, продление жизни, уже интереснее. Технически любой существенный эффект (помимо медицинских достижений, увеличивающих процент людей, доживающих до 90-100 лет), скорее всего, потребует подобных умений для производства жизни с более высоким уровнем интеллекта. Однако эта сфера столкнется с гораздо меньшим сопротивлением луддитов со стороны политиков и религиозных лидеров, так как преимущества более длинной жизни очевидны и теоретически универсальны. С другой стороны, увеличивать продолжительность жизни уже живущих будет гораздо сложнее, чем создавать новых людей-долгожителей, и скорее всего, это произойдет позднее.

Получается, что к 2050 году мы, вероятно, получим возможность рожать детей, которые будут жить 150-200 лет (то есть дольше, чем потребуется для обретения возможности преодолеть сдерживающие факторы, о которых мы еще не знаем, потому что они не затрагивают не-долгожителей). Через какое-то время после этого мы научимся хотя бы частично увеличивать продолжительность жизни уже существующих людей. Учитывая потенциальный массовый спрос на подобные технологии, они должны быстро распространиться среди большинства людей, так как массовое производство позволит снизить их стоимость до допустимого уровня.

Однако в то время как увеличение жизненного цикла намного улучшит жизнь человека, оно не ускорит прогресс. Долгожители не приступят к работе, по крайней мере, до 25 лет, потому что они будут получать более всестороннее образование, чем мы. Выйдя на работу, они будут менее склонны к риску и терпеливее нас, так как запаздывание будет поглощать меньшую часть оставшейся жизни. В свою очередь, даже без дальнейшей акселерации, им потребуется повторное образование каждые 20-25 лет, чтобы их рабочие навыки не успели безнадежно устареть. Так как расходы для них в условиях быстрых изменений будут больше, чем для нас, а преимущества – меньше, они сами захотят замедлить прогресс. Только в сочетании с более высоким уровнем интеллекта они будут способны принять головокружительный послереволюционный темп изменений.

На данный момент я рассматривал возможную акселерацию положительных изменений. Однако существует возможность катастрофически негативных перемен, которые способны вернуть цивилизацию, уровень жизни и знания на более примитивную ступень. Одним из возможных источников этого является мировая война, возможно, отличная от той, что была 50 лет назад. Еще одним фактором может быть экологическая катастрофа. Здесь ничего хорошего не предвидится. Нынешний неотвратимый рост населения, который, очевидно, замедлится, но не прекратится к 2050 году, усугубится открытиями, которые привели к росту продолжительности жизни до 200 лет, как из-за снижения количества смертей, так и из-за увеличения рождаемости благодаря тому, что способность к воспроизведению будет сохраняться в течение 100 лет. Является глобальное потепление серьезной проблемой в мире с населением от 7 до 10 млрд, еще вопрос, но оно, несомненно, превратится в серьезную проблему в мире с населением в 20 млрд человек (и истощение ресурсов будет, соответственно, представлять собой более реальную опасность). Соответственно, основным приоритетом должны быть меры для замедления роста населения или, даже лучше, возврата к сокращению. В конце концов, до последней сингулярности мировое население составляло всего 1 млрд; при таком уровне наши проблемы с окружающей средой и ресурсами исчезли бы.

Помимо возможности коллапса, две или три вероятных технологических разработки следующих 50 лет – достижение предела Закона Мура и увеличение продолжительности жизни – скорее, замедлят темп изменений, нежели ускорят его. Только третий вариант – генетически улучшенный интеллект – обладает потенциалом к ускорению прогресса, но системное противостояние этой технологии, вероятно, задержит ее очень надолго. Кривая развития человечества в 21-м веке, таким образом, будет асимптотической [ограниченной], а не экспоненциальной.

Лабораторная работа №1.

«Динамика численности популяций».

Моделирование динамики популяции с помощью расчетной программы

Цель работы: Изучить модели динамики численности популяции с помощью расчетной программы.

К работе допущен

Работу выполнил

Работу защитил

2010 г.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Согласно определению известного русского эколога С.С.Шварца, популяция – это элементарная группировка организмов определенного вида, обладающая всеми необходимыми условиями для поддержания своей численности длительное время в постоянно изменяющихся условиях среды.

Популяции, как и любой биологической открытой системе, свойственны определенная структура, рост, развитие, устойчивость к абиотическим и биотическим факторам.

Наиболее важным показателем благополучия популяции (устойчивости), ее роли в функционировании природной экосистемы является ее численность.

Численность популяции определяется в основном двумя явлениями – рождаемостью и смертностью, а также миграцией.

Рождаемость - количество новых особей, появившихся в единицу времени в результате размножения. В процессе размножения число особей возрастает, теоретически она способна к неограниченному росту численности.

Существуют различные типы изменения численности особей в популяции в зависимости от времени (динамики популяции). В наиболее простых случаях динамика популяции может быть описана несложными математическими моделями, которые позволяют прогнозировать изменение численности особей.

1. Экспоненциальный рост численности.

Одна из наиболее ранних моделей роста численности особей популяции была предложена Т. Мальтусом 1798 году, в широко известной работе "О принципах народонаселения". Данная модель получила название экспоненциальной зависимости роста численности (экспоненциальной кривой роста). В данной моделипредполагается неограниченное количество природных ресурсов, доступных особям популяции, и отсутствие каких-либо сдерживающих факторов для роста численности. При таких допущениях численность особей в популяции возрастает по степенной зависимости, т.е. очень быстро и неограниченно .

Если обозначить через n 0 количество особей в популяции и начальный момент времени (t 0 ), а через N t количество особей в некоторый момент времени t (t>t 0). Тогда изменение численности ∆N за интервал времени ∆t . т.е. скорость роста популяции будет равна:

(1)

В выражении (1) приведена средняя скорость роста популяции. Однако в популяционной экологии чаще используется не абсолютная средняя скорость, а скорость роста на один организм (специфическая скорость):

(2)

Данный показатель позволяет сравнивать значения изменение численности популяциях разных размеров. В этом случае численность определяется как скорость увеличения на одну особь за определенный интервал времени.

Перейдя к предельной форме записи скорости при
0 и
и введя новоеобозначение:

(3)

В выражении (3) показатель r может быть определен как мгновенная удельная скорость роста популяции . Для различных популяций одного того же вида это показатель может иметь различные значения. Наибольшее из всех возможны значений (r max) называют биотическим или репродуктивным потенциалом популяции

С учетом выражения (3) скорость роста популяции можно описать следующим выражением

(4)

Продифференцировав выражение (4) получим, что в любой момент времени при условии r =с onst (константа скорости роста) численность особей в популяции будет равна:
(5)

Формула (5) описывает экспоненциальную модель роста популяции, которая в графическом виде имеет форму кривой (рис.1). Экспоненциальная модель роста отвечает условиям неограниченного роста численности особей в популяции.

Рис. 1. Экспоненциальная кривая роста численностиособей в популяции

1. Модель логистического роста

Максимальный размер популяции, который экосистема способна поддерживать неопределённо долго при неизменных природных условиях, называется ёмкостью экосистемы для данного вида.

Изменение численности популяции - это соотношение между биологическим потенциалом (прибавление особей) и сопротивлением среды (гибелью особей, смертностью). Факторы сопротивления среды ведут к увеличению смертности, и кривая численности выходит на плато или даже идет вниз, если популяционный взрыв вызвал истощение жизненно важных ресурсов экосистемы. Кривая роста численности популяции при сопротивлении среды приобретает S- образный вид (рис. 2).

Рис. 2 . Модель S-образного роста численности популяции

Таким образом, в естественных условиях неограниченный рост невозможен и рано или поздно численность популяции достигнет своего предела , который определяется ёмкостью среды (пространственной, пищевой и т.д.). Если обозначить через максимально возможное число особей в популяции некоторую величину К (ёмкость среды) и ввести поправочный показатель, учитывающий "сопротивление" среды росту численности в виде отношения:

,

то уравнение для такого случая запишется в виде:

(7)

Решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид

(8)

где а - константа интегрирования, определяющая положение функции относительно начала координат, она может быть найдена из выражения (при условии, r = const ).

(9)

Выражение (8) описывает так называемую кривую логистического роста (рис.2). Это вторая простейшая математическая модель динамики популяции при условии верхнего предела численности и сопротивления среды росту численности. В соответствии с данной моделью численность популяции на первом этапе достаточно быстро растет, но затем скорость роста популяции замедляется и становится бесконечно малой вблизи величины К (логистическая кривая асимптотически приближается к горизонтали К).

Здравствуйте! Сегодня мы с вами попробуем разобраться, что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост - возрастание величины в геометрической прогрессии. Величина растет со скоростью, пропорциональной её значению. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Разберем это на примере. Может, вы помните из биологии, что бактерии размножаются ОЧЕНЬ быстро. Рост популяции бактерий аналогичен росту непрерывно начисляемых процентов. Я это покажу, когда будем решать задачу. Так, это у нас задача на экспоненциальный рост. Вот условие: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток, и она начинает расти пропорционально своему размеру. Спустя 1 час численность клеток возрастает до 420. Сначала нам нужно найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Давайте этим и займемся. Количество бактерий – это, можно сказать, функция от времени. Давайте обозначим ее b. Итак, запишем. Количество бактерий как функцию от t можно записать как b(t). Я запишу это вот здесь: b(t). Таким образом, количество бактерий как функция от времени равно: начальное количество бактерий, то есть I нулевое (если проводить аналогию с процентами, то это у нас тело кредита). В данном случае это количество, с которого мы начинаем. Далее у нас идет число е в степени kt, где k – это вид экспоненциального роста. Это у нас I нулевое, другими словами, первоначальное количество. t=0, т.к. в начальный момент времени время равно нулю, а значит, что вся степень равна нулю, а все выражение здесь равно единице. Логично, да?. b(0) должно быть равно I нулевому. Следовательно, если вы знаете, с какого значения начать, а также второе значение, то вы можете найти k. Затем вы подставляете вместо k найденное значение – и вот вы и выполнили первый пункт задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Итак, мой вопрос: чему равно I нулевое? Нам это количество известно. Вот здесь в задаче: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток. Следовательно, мы знаем, что b(0) равно 100. Давайте я по-другому запишу: b(0)=I нулевое*е в степени 0 =I нулевому. Следовательно, количество бактерий при t=0 равно 100. Вот мы немного продвинулись в решении. Теперь можем сказать, что b(t)=100*е в степени kt. Таким образом, если бы у нас было k, то мы бы могли выполнить первую часть задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. А как же нам найти k? А вот у нас далее идет второе значение количества бактерий: спустя 1 час численность клеток возрастает до 420 штук. О чем это нам говорит? О том, что b(1) т.е. популяция спустя 1 час равна 420 штукам, или это равно 100*е в степени kt. Чему равно t? t=1, следовательно, умножить на е в степени k. Таким образом, 420=100*е в степени k. Теперь мы можем найти k. Давайте для начала разделим обе части равенства на 100. Итак, 4,2…Я, наверное, поменяю местами части равенства. Итак, е в степени k равно 4,2. Теперь, чтобы найти k, нам нужно взять натуральные логарифмы обеих частей. Таким образом, k=ln(4,2). В результате мы получим какое-то число. Мы позже найдем его с помощью калькулятора. Итак, мы сначала подставили в это выражение значение 100, выяснили, чему равно I нулевое и с помощью дополнительных данных мы нашли k: k=ln(4,2). Теперь у нас есть выражение, поскольку k и I нулевое нам известны. Следовательно, вот ответ на первый пункт задания: функция b(t) равна: начальное количество, то есть 100, умножить на е в степени kt, а поскольку k=ln(4,2), то получаем е в степени (ln(4,2))*t. Именно так выглядит наша функция. Теперь приступим к выполнению второго пункта нашего задания. Вот он, второй пункт: найти количество бактерий через 3 часа. Это сделать легко и просто. У нас есть функция, а t=3, следовательно, мы можем найти количество бактерий через 3 часа. Итак, b(3)=100*е в степени (ln(4,2)*3). И мы можем вычислить значение этого выражения, если, конечно, у вас есть калькулятор. Чему равен натуральный логарифм 4,2? Вообще-то, мы можем найти значение аналитическим методом. Итак, это то же самое, что и 100 умножить на е в степени ln(4,2) и все это в третьей степени, поскольку если две степени перемножаются, то это равносильно возведению в степень, значит, мы возводим в 3-ью степень. И если мы упростим здесь, то дальше все понятно. А чему же равно е в степени ln(4,2)? Это равно 4,2, не так ли? Натуральный логарифм говорит нам о том, в какую степень надо возвести число е, чтобы получить 4,2. Посмотрите, я даже обойдусь без калькулятора. Значит, 100*(4,2) в третьей степени. А теперь нам нужно выяснить, сколько будет (4,2) в третьей степени. Это будет около 70-ти. Давайте позже с этим разберемся. Вот ответ на второй пункт нашего задания. А найти значение можно с помощью калькулятора. Вы и сами можете это сделать. Какой же третий пункт? Теперь нам надо найти темп роста спустя 3 часа. Что в этом пункте от нас хотят? Нам надо найти угол наклона вот этой функции. Другими словами, нам надо найти производную этой функции при t=3. Давайте я здесь все удалю, поскольку мы уже выполнили эти пункты задания. Здесь надо только посчитать на калькуляторе. Готово. Итак, переходим к третьему пункту. Нам надо найти темп роста, то есть производную данной функции. Итак, производная функции b’(t) равна…Чему же она равна? Давайте воспользуемся цепным правилом, т.е. принципом дифференцирования сложной функции. Итак, поскольку 100 – это константа, то мы можем 100 написать перед функцией. А производная вот этого выражения равна ln(4,2) умножить на производную е в степени ln(4,2)*t. Это мы нашли темп роста при t, а нам надо выяснить, чему он будет равен при t=3. Следовательно, b’(3)=100*ln(4,2), и все это мы умножаем на е в степени ln(4,2)*t. А мы уже говорили, что это выражение равно просто (4,2) в степени t. Значит, здесь мы умножаем на (4,2) в третьей степени. Как видите, мы здесь затронули и тему логарифмов. Ну, а дальше все легко и просто: мы вместо t подставили значение 3. Надеюсь, вы поняли. Ну, а если нет, то можете просто-напросто воспользоваться калькулятором. Но, по-моему, это надо знать: е в втепени (ln x)=x. Ведь, что такое (ln x)? Это степень, в которую надо возвести е, чтобы получить х. Другими словами, если я возвожу е в степень х, я получаю х. Вот все, что я хотела сказать. Итак, е в степени ((ln(4,2) в степени t)= (4,2) в стпени t. Как видите, я могу переписать наше первоначальное выражение следующим образом: 100*(4,2) в степени t. Мы только что упростили ответ для первого пункта задания. Так будет лучше. Благодаря этому найти решение для второго пункта было бы проще. Ну а что касается третьего пункта, то здесь лучше оставить все, как есть, поскольку найти производную вот этого выражения намного легче. Мы можем переписать вот это выражение как: b’(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) в степени t. Таким образом, я просто поменяла вот это выражение на это. Извините, я тут уже так начёркала. И наконец-то, мы подошли к последнему пункту нашего задания: найти время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Давайте я, наверное, сотру решение к третьему пункту. Через какое время количество бактерий достигнет 10.000? Давайте сначала запишем наше выражение немного проще. Итак, b(t)=100*е в степени (ln(4,2)*t). А это равно, как я уже говорила, 100*(4,2)^t. У нас спрашивают, когда количество бактерий достигнет 10.000. Другими словами, при каком значении t функция b(t) равно 10.000. Итак, 10.000=100*е в степени ln(4,2)*t. Давайте посмотрим, что у нас здесь. Мы можем разделить обе части равенства на 100. Следовательно, 100=е в степени (ln(4,2)*t). А теперь мы можем записать обе части в виде натуральных логарифмов. Что у нас здесь получится? Возьму другой цвет, ln100 равен..., а если мы берем натуральный логарифм е в какой-то степени, то мы получаем просто натуральный логарифм значения этой степени. Другими словами, у нас остается только логарифм выражения, которое находится в степени. Итак, давайте это запишем: ln100=ln(4,2)*t. А чтобы найти t, нам надо обе части равенства разделить на ln(4,2). Следовательно, t=(ln100)/(ln(4,2)) Таким вот образом мы найдем время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Осталось только взять калькулятор и найти значение этого выражения. А давайте теперь ради интереса, рассмотрим упрощенную версию нашего выражения. Итак, что бы у нас получилось: 100*(4,2) в степени t=10.000. Делим обе части равенства на 100. Значит, (4,2) в степени t=100. А чтобы решить это, нам надо взять логарифм по основанию 4,2. Следовательно, t равно логарифму 100 по основанию 4,2. Мы еще вернемся к этому в видео о свойствах логарифма. Очень важно знать, как можно вычислить логарифм по основанию какого-то числа. Поскольку на калькуляторе вы можете найти логарифм только по основанию е или 10. А как найти логарифм по основанию любого другого числа? Мой ответ – очень просто: надо просто взять натуральный логарифм 100 и разделить его на натуральный логарифм вот этого значения. Либо же десятичный логарифм 100 и разделить на десятичный логарифм 4,2. Все, на этом мы, наверное, закончим, чтобы у вас в голове все не перепуталось. Итак, на этом уроке мы рассмотрели экспоненциальный рост. Мы могли вместо «колонии бактерий» написать «начальная сумма вклада составляет 100 и растет пропорционально своему размеру». Тогда это было бы сложными процентами. А здесь мы могли бы сказать, что «спустя 1 час сумма увеличилась на, допустим, 4, 2 доллара. В таком случае мы бы искали непрерывно начисляемые проценты. В общем, это то же самое. Неважно, что именно мы рассматриваем. В дальнейшем я покажу еще несколько примеров на эту тему, а также мы рассмотрим задачу и на экспоненциальное затухание. До скорой встречи!

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ В ПРИРОДНЫХ ПРОЦЕССАХ

Стойков Дмитрий

10 «А» класс МБОУ СОШ № 177,г. Казань

Хабибуллина Альфия Якубовна

научный руководитель, учитель математики высшей категории МБОУ СОШ № 177,г. Казань

Введение

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией. Меня заинтересовал вопрос, почему протекание этих процессов не зависит от времени. Ведь по логике, любые изменяющиеся процессы должны соотноситься с независимой величиной ― временем. На деле же, это правило работает не всегда.

Цель исследовательской работы : экспериментально подтвердить протекание некоторых химических процессов в соответствии с экспоненциальной зависимостью, описываемой уравнением Аррениуса.

Задачи :

·Изучить показательную функцию;

·Изучить экспоненциальную зависимость, как частный случай показательной функции;

·Изучить уравнение Аррениуса, описывающее экспоненциальную зависимость;

·Изучить примеры химических процессов, протекающих в соответствии с экспоненциальной зависимостью;

·Провести ряд экспериментов и подтвердить на практике протекание некоторых химических процессов в соответствии с экспоненциальной зависимостью, описываемой уравнением Аррениуса.

Гипотеза исследования : при помощи уравнения Аррениуса можно описать некоторые химические процессы.

Объект исследования : показательная функция, как элемент прикладной математики.

Методы исследования :

1. Изучение литературы и электронных ресурсов по теме исследования.

2. Анализ применения экспоненциальной зависимости

3. Химические эксперименты на подтверждение уравнения Аррениуса.

Показательная функция

Пусть х R, a ≠ 0, {r n } ― последовательность рациональных чисел, сходящихся к x . Определим число a x как предел. Показательной функцией с основанием a > 0, а ≠ 1 называется функция вида у=a x , х R

Данный предел не зависит от выбора последовательности r n , приводящей к числу x . Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1 . Функция никогда не обращается в ноль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

График показательной функции у=0,5 х

Экспоненциальная зависимость

Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как

Численно оно равно е = 2,71828182845904523536 и называется константой Эйлера.

Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается у = е х ≡ exp x .

Рассмотрим график экспоненциальной функции y = e x . Так как 2 < е < 3, то функция у = е х монотонно возрастающая на всей области определения. В точке (0;1) касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45 о (π/4). Производная этой функции в нуле равна 1. Это ― единственная функция, у которой производная и первообразная совпадают с нею же самой.

Уравнение Аррениуса

Шведский физик и химик Сванте Аррениус получил Нобелевскую премию по химии в 1903 г. за создание теории электролитической диссоциации. В своей докторской диссертации (Уппсальский университет) Аррениус высказал предположение, что такие «молекулы», как хлорид натрия, самопроизвольно распадаются в растворе, образуя ионы, которые исполняют роль реагентов при электролизе. Однако более всего Аррениус известен своим уравнением, определяющим температурную зависимость константы скорости реакции.

Точное соотношение между скоростью реакций и температурой Аррениус впервые установил в 1889 г. Это соотношение, получившее название уравнения Аррениуса, имеет вид

,

где: к ― константа скорости реакции;

А ― постоянная, характеризующая каждую конкретную реакцию (константа Аррениуса);

e ― экспонента;

E a ― еще одна постоянная, характерная для каждой реакции и называемая энергией активации;

R ― газовая постоянная;

Т ― абсолютная температура в градусах Кельвина.

Отметим, что это уравнение связывает температуру не со скоростью реакции, а с константой скорости.

Связь скорости реакции с температурой была выведена из результатов первых кинетических исследований в 1880―1884 гг. и получила название правила Вант-Гоффа : скорость многих реакций при нагревании на 10 о С увеличивается в 2―4 раза. Данное правило выполняется для относительно медленных реакций в растворах и поэтому не является универсальным. При решении некоторых задач можно пользоваться формулой Вант-Гоффа:

где: γ ― коэффициент Вант-Гоффа (= 2―4),

Т ― температура в градусах по шкале Цельсия или Кельвина (поскольку используется разность, шкала не имеет значения).

Уравнением Аррениуса б олее точно и более универсально выражает зависимость константы скорости реакции от температуры. Множитель А в этом уравнении связан с частотой столкновений частиц и их ориентацией при столкновениях.

Примеры природных процессов, протекающих в соответствии с уравнением Аррениуса

Пример 1. Скорость (частота) пиликанья сверчков подчиняется, хотя и не вполне строго, уравнению Аррениуса, плавно увеличиваясь в температурном интервале от 14.2°С до 27°С, с эффективной энергией активации E a = 51 кДж/моль. По частоте стрекотаний можно достаточно точно определить температуру: надо подсчитать их число за 15 с и прибавить 40, получится температура в градусах Фаренгейта (F) (американцы до сих пор пользуются этой температурной шкалой). Так, при 55 F (12.8°С) частота стрекотаний составляет 1 стрек./с, а при 100 F (37.8°С) ― 4 стрек./с.

Пример 2. В температурном интервале от 18°С до 34°С частота сердечных сокращений морской черепахи согласуется с уравнением Аррениуса, которое дает энергию активации E a = 76.6 кДж/моль, но при более низких температурах энергия активации резко увеличивается. Это может быть связано с тем, что при пониженных температурах черепаха чувствует себя не очень хорошо и частота ее сердечных сокращений начинает управляться другими биохимическими реакциями.

Пример 3. Особенно интересны попытки «положить на аррениусовскую зависимость» психологические процессы человека. Так, людей с разной температурой тела (от 36.4°С до 39°С) просили отсчитать секунды. Оказалось, что чем выше была температура, тем быстрее был счет (Е а = 100.4 кДж/моль). Таким образом, наше субъективное ощущение времени подчиняется уравнению Аррениуса. Автор проведенного социологического исследования Г. Хогланд предположил, что это связано с некоторыми биохимическими процессами в мозге человека.

Немецкий исследователь Х. фон Ферстлер измерял у людей с разной температурой скорость забывания. Он давал людям последовательность разных знаков и измерял время, в течение которого люди эту последовательность помнили. Результат был тот же, что и у Хогланда: аррениусовская зависимость с Е а = 100.4 кДж/моль.

Богатый народный опыт подсказывает многие выводы, которые подтверждаются научно. На Руси издавна существует поговорка: «Держи ноги в тепле, а голову ― в холоде». Уравнение Аррениуса обосновывает это высказывание.

Зависимость скорости химических реакций от температуры

Изменение температуры оказывает резкое влияние на константу скорости, а, следовательно, и на скорость химической реакции. В подавляющем большинстве случаев скорость химической реакции с нагреванием возрастает.

В соответствии с правилом Вант-Гоффа, при повышении температуры на каждые 10 градусов скорость химической реакции возрастает, в среднем, в 2-4 раза:

v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10 ,

где: γ - температурный коэффициент, который можно рассчитать по формуле:

γ = k T +10 /k T ,

где: k T Т ;

k T+10 - константа скорости реакции при температуре (Т+10) .

Эксперименты

Эксперимент № 1 : Взаимодействие цинка с разбавленной серной кислотой.

Взяли несколько кусочков цинка с точно известной массой и поместили в равные объемы растворов разбавленной серной кислоты различной температуры. Измерили время полного растворения цинка, проходящего в соответствии с реакцией:

Zn + H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2

Рассчитали скорость реакции в мкмоль/с (количество вещества в моль посчитано через массу, деленную на атомную массу цинка). Результаты представлены в таблице и в виде графика зависимости скорости реакции от температуры.

Таблица 1.

t o C
Ѵ , моль/с

Зависимость скорости взаимодействия цинка с разбавленной серной кислотой от температуры серной кислоты:

Эксперимент № 2 : В лияние температуры на скорость ферментативной реакции.

В качестве модельной ферментативной реакции мы взяли реакцию гидролиза бутирилхолина, катализируемую ферментом бутирилхолинэстеразой:

(СН 3) 3 N + -CH 2 -CH 2 -O-C(O)-C 3 H 7 + H 2 O → (СН 3) 3 N-CH 2 -CH 2 -OH + HO-C(O)-C 3 H 7

Трехмерная модель молекулы бутирилхолинэстеразы.

Для проведения реакции использовали планшет для иммунохимических исследований (см. рисунок 1 Приложения 1). Приготовили растворы субстрата ― бутирилхолина и фермента ― бутирилхолинэстеразы путем растворения точной навески вещества в 0.002 моль/л фосфатном буферном растворе, содержащем кислотно-основной индикатор бромтимоловый синий, с pH = 8. Индикатор имеет синюю окраску в щелочной среде (рН>7) и желтую окраску в кислой среде. Так как в результате ферментативной реакции гидролиза происходит образование кислоты, рН раствора понижается, а окраска индикатора изменяется от синей через зеленую до желтой. Таким образом, скорость химической реакции можно оценить по скорости изменения окраски индикатора.

Проведение реакции. Растворы субстрата и фермента с помощью снега и водяной бани охлаждали либо нагревали до нужной температуры (5°С, 15°С, 25°С, 35°С). Максимальной температурой было выбрана температура 35°С, т. к. фермент холинэстераза имеет температурный оптимум 37°С (температура, при которой активность фермента максимальна). В ячейку планшета с помощью дозатора на 100 мкл вносили раствор фермента определенной температуры, затем 100 мкл раствора субстрата и засекали время с помощью секундомера. Измеряли время от начала реакции (момент добавления субстрата к ферменту) до изменения цвета индикатора до желтого. При каждой температуре эксперимент проводили в трех повторностях, затем рассчитывали среднее время изменения окраски.

Зависимость времени изменения окраски индикатора от температуры растворов:

Данный метод оценки скорости реакции является вариантом каталитического метода анализа - способом фиксированной концентрации. Это способ, в котором реакцию проводят до строго определенной (фиксированной) концентрации индикаторного вещества и измеряют время достижения этой концентрации. В данной реакции индикаторным веществом является масляная кислота, от концентрации которой зависит окраска индикатора. Время достижения определенной концентрации является мерой скорости реакции. График строят в координатах: величина, обратная времени достижения фиксированной концентрации - изучаемый параметр (температура).

Зависимость скорости изменения окраски индикатора от температуры:

Эксперимент № 3 (расчетная задача): Скорость дегидратации этилового спирта.

Задача: Во сколько раз увеличится скорость дегидратации этилового спирта при увеличении температуры со 180 о С до 200 о С, если температурный коэффициент реакции равен трем?

Решение: В соответствии с правилом Вант-Гоффа, v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10 , отсюда

V 2 /v 1 = γ (T 2- T 1)/10 , где γ = 3, Т1 = 180, Т2 = 200. Таким образом, v 2 /v 1 = 3 (200-180)/10 = 9, т. е. скорость возрастет в 9 раз при повышении температуры на 20 градусов.

По полученным данным можно построить графическую зависимость скорости дегидратации этилового спирта от температуры (при повышении температуры на каждые 10 градусов скорость реакции возрастает в 3 раза).

Зависимость скорости реакции от температуры:

Выводы. Заключение

В процессе работы над исследовательской темой была изучена показательная функция, экспоненциальная зависимость, как частный случай показательной функции, а также уравнение Аррениуса, описывающее экспоненциальную зависимость.

После рассмотрения примеров природных процессов, протекающих в соответствии с экспоненциальной зависимостью, был проведен ряд химических экспериментов и подтверждено на практике протекание некоторых химических процессов в соответствии с экспоненциальной зависимостью, описанной уравнением Аррениуса.

Мы считаем, что гипотеза исследования «при помощи уравнения Аррениуса можно описать некоторые химические процессы» подтвердилась. Так, при растворении Zn в серной кислоте при разных температурах скорость протекания химической реакции изменяется по экспоненте. Кроме того, скорость ферментативной реакции в нейронах человеческого мозга также изменяется в зависимости от температуры в соответствии с уравнением Аррениуса.

Таким образом, было экспериментально подтверждено протекание некоторых химических процессов в соответствии с уравнением Аррениуса, описываемым экспоненциальной зависимостью.

Список литературы:

1.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

2.Леенсон И.А. Почему устарело правило. Энциклопедия для детей. Т. 17. Химия. - М.: Аванта+, 2000. - 640 с.

3.Леенсон И.А. Почему и как идут химические реакции. - М.: МИРОС, 1994. - 176 с.

4.Хапланов М.Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). М.: Просвещение, 1965. - 209 с.