Гармония правильных многогранников. Октаэдр и его применение в различных областях

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Размеры

Если длина ребра октаэдра равна а , то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

r u = a 2 2 ≈ 0.7071067 ⋅ a {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.7071067\cdot a} ,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

r i = a 6 6 ≈ 0.4082482 ⋅ a . {\displaystyle r_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.4082482\cdot a.} Ортогональные проекции

Центрированы	Ребром	Нормалью к грани	Вершиной	Гранью
Образ
Проективная симметрия

Сферическая мозаика

Октаэдр можно представить, как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция конформна , сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
	треугольно -центрированная

Декартовы координаты

Октаэдр с длиной ребра 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты вершин тогда будут

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона , октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой . Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде .

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия

Имеется 3 однородных раскрашивания октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является O h с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа . В подгруппы этой группы входят D 3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы , D 4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды , и T d (порядка 24), группа симметрии . Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Название	Октаэдр	Полностью усечённый тетраэдр (Тетратетраэдр)	Треугольная антипризма	Квадратная бипирамида	Ромбическая бипирамида
Рисунок (Раскраска граней)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Коксетера		=

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - произвольный многоугольник, а остальные - боковые грани - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник - тетраэдр. Четырехугольная - пятигранник и т.д.

Пирамида Усеченная Пирамида

SO – высота пирамиды ОО1 – высота пирамиды

SF – апофема пирамиды Ff – апофема пирамиды

Свойства пирамиды:

Если все боковые рёбра равны , то:

вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом , то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
высоты боковых граней равны.

Тетраэдр - правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4 , к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6 . Также тетраэдр является пирамидой.

Свойства тетраэдра:

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

Призма - это многогранник, у которого две грани (основания призмы) - равные многоугольники с соотвественно параллельными сторонами. Остальные грани - параллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой.

Наклонная призма Прямая призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то - призма прямая . Если нет - призма наклонная . Если в прямой призме основание - правильный многоугольник - призма правильная .

Свойства призмы:

Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
Углы перпендикулярного сечения - это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням

Параллелепипед - это призма, основание которой - параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали. Все диагонали Параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым . Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней прямоугольники называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом или правильным гексаэдром . Все ребра куба равны.

Свойства параллелепипеда:

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Октаэдр

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Свойства октаэдра:

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
Правильный октаэдр имеет симметрию O h , совпадающую с симметрией куба.

Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

Многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 восьмигранник (2) … Словарь синонимов

октаэдр - а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

- (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия

- (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь

ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии

- [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. {111}. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия

октаэдр - — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика

Октаэдр - (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

Волшебные грани № 15. Звездчатый октаэдр. Звездчатый многогранник , . Набор для сборки многогранника "Звёздчатый октаэдр" . Размеры готового многогранника, собранного из набора: 170x180x200 мм. Уровень сложности -"Старт" (не требует опыта и дополнительных…
Волшебные грани № 21. Архимедовы тела. Часть 2 , . Специальный выпуск. Архимедовы тела. Два многогранника в одном наборе. Наборы для сборки многогранников: 171;Архимедовы тела: ромбо-кубо-октаэдр, ромбо-усечённый кубо-октаэдр 187;.…