Какие фигуры называются равными равновеликими. Какие фигуры называются равными

какой угол называется развернутым? Какие фигуры называются равными? Обьясните как сравнить два отрезка? какая точка называется

серединой отрезка?

Какой луч называется биссектрисой угла?

что такое градусная мера угла?

Какая фигура называется треугольником?Какие треугольники называются равными?Какой отрезок называют медианой треугольника?Какой отрезок называют

биссектрисой треугольника?Какой отрезок называют высотой треугольника?Какой треугольник называется равнобедренным?Какой треугольник называется равносторонним?Что такое окружность? Определение радиуса, диаметра, хорды.Дайте определение параллельных прямых.Какой угол называется внешним углом треугольника?Какой треугольник называется остроугольным, какой треугольник называется тупоугольным, какой прямоугольным. Как называются стороны прямоугольного треугольника?Свойство двух прямых, параллельных третьей.Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных прямых.Свойство двух прямых перпендикулярных к третьей

Какая фигура называется ломаной? Что такое звенья вершины и длина ломаной?

Объясните какая ломанная называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, периметр и диагонали многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым?
Объясните какие углы называются выпуклыми углами многоугольника. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника. ВЗЯТЫХ по одному прикаждой вершине, равна 360 градусов.
Чему равна сумма углов выпукого четырехугольника?

1)Какая фигура называется четырехугольником?

2)Что такое вершины,углы стороны диагонали периметр четырехугольника?
3)Какие углы стороны четырехугольник называется выпуклым?
4)чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
5)какой четырех угольник называется выпуклым?
6)какой четырех угольник называют параллелограмм?
7)какими свойствами обладает параллелограмм?
8)назовите признаки параллелограмма.
9)сформулируйте свойства прямоугольника.
10)какой четырехугольник называется квадратом?
11)сформулируйте свойства ромба.
12)какой четырехугольник называется ромбом?
13)какой четырехугольник называется прямоугольником?
14)какими свойствами обладает квадрат? ответьте пожалуйста кратко...

Геометрия Атанасян 7,8,9 класс «Вопросы ответы на вопросы для повторения к главе 2 к учебнику геометрии 7-9 класс атанасян Объясните, какая фигура

называется треугольником.
2. Что такое периметр треугольника?
3. Какие треугольники называются равными?
4. Что такое теорема и доказательство теоремы?
5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.
6. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?
7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?
9. Какой треугольник называется равнобедренным?
10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?
11. Какой треугольник называется равносторонним?
12. Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
14. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
15. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
16. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
17. Дайте определение окружности.
18. Что такое центр окружности?
19. Что называется радиусом окружности?
20. Что называется диаметром окружности?
21. Что называется хордой окружности?

При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения. Рассмотрим многоугольники и , изображенные на рис. 1, где показано, как разбить эти многоугольники на одинаковое число соответственно равных частей (равные части отмечены одинаковыми цифрами). О многоугольниках и говорят, что они равносоставлены. Вообще, многоугольники и называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав многоугольник на конечное число частей, можно, располагая эти части иначе, составить из них многоугольник . Легко видеть, что справедлива следующая теорема: равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, или, как говорят, равновелики. Например, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником (рис. 2), и потому, зная формулу площади прямоугольника, находим, что площадь параллелограмма равна произведению длин его стороны и соответствующей высоты.

Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна. Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (рис. 3); из этого легко выводится формула площади треугольника. Этот способ вычисления площадей многоугольников был известен еще Евклиду, который жил более 2000 лет назад.

Замечательно, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф. Бойяи и немецким офицером и любителем математики П. Гервином, можно пояснить так: если имеется пряник в форме многоугольника и многоугольная коробка совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать пряник на конечное число кусков, что их удастся вложить в эту коробку.

В связи с теоремой Бойяи-Гервина возникает вопрос о наложении дополнительных ограничений на число или расположение частей, из которых составляются равновеликие многоугольники. Например, представим себе плоскость в виде листа цветной бумаги, у которого одна сторона красная, а другая - белая. Если из такой бумаги вырезаны два равновеликих красных многоугольника, то возникает вопрос, можно ли один из них разрезать на части, из которых удастся сложить красный многоугольник, равный второму. Части разрешается перекладывать, не переворачивая их на белую, изнаночную сторону. Ответ на этот вопрос также утвердителен.

Вариант этой задачи был предложен на одной из московских математических олимпиад в следующей шуточной форме. Чудак-кондитер испек торт (а у торта, в отличие от пряника, верхняя сторона покрыта кремом) в форме разностороннего треугольника. Сделали и коробку к торту, но по недосмотру склеили ее неверно, так что торт и коробка оказались симметричными друг другу (рис. 4). Нужно (по возможности экономно) разрезать торт на части, которые удалось бы уложить в эту коробку. Разумеется, части торта нельзя укладывать кремом вниз.

Интересный результат, связанный с наложением дополнительных требований на расположение частей, был получен в 1952 г. швейцарскими математиками Г. Хадвигером и П. Глюром: равносоставленность двух равновеликих многоугольников может быть установлена при помощи таких разбиений, в которых соответствующие части имеют параллельные стороны. На первый взгляд это кажется даже неправдоподобным: трудно поверить, что два равных треугольника, повернутые друг относительно друга на произвольный угол (рис. 5), всегда можно разбить на равные части с соответственно параллельными сторонами. Тем не менее существует такое разбиение этих треугольников, что части, на которые разбит один треугольник, получаются из соответствующих частей второго треугольника параллельными переносами или центральными симметриями. То же справедливо для любых двух равновеликих многоугольников. Однако одними только параллельными переносами частей обойтись не удается. Например, как бы мы ни разрезали параллелограмм на части, невозможно параллельными переносами составить из этих частей треугольник.

Интерес к этим вопросам был пробужден знаменитым докладом «Математические проблемы», который был прочитан выдающимся математиком Д. Гильбертом на Втором Международном конгрессе математиков, состоявшемся на рубеже XIX и XX вв. Из двадцати трех поставленных Гильбертом проблем большинство относится к новым, быстро развивающимся разделам математики. И лишь одна проблема – третья - связана с вопросами школьной геометрии. Гильберт обращает внимание на то, что при вычислении объема треугольной пирамиды еще со времен Евклида используется довольно сложный предельный переход (см. Предел) (а в настоящее время - интегрирование), тогда как при вычислении площади треугольника мы обходимся без аналогичного предельного перехода. Существо проблемы Гильберта состоит в том, чтобы обосновать использование этого «лишнего» (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, т.е. доказать, что без него теория объемов многогранников не может быть построена. В 1900 г. М. Ден решил третью проблему Гильберта, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Гильберт предвидел, что этот вопрос может привести к созданию математически интересной и богатой результатами теории равносоставленности многоугольников и многогранников. Предвидение Гильберта блестяще оправдалось; красивое здание современной теории равносоставленности является достойным памятником ученому.

VIII класс: Тема 3. Площади фигур. Теорема Пифагора.

1. Понятие площади. Равновеликие фигуры.

Если длина – это числовая характеристика линии, то площадь – это числовая характеристика замкнутой фигуры. Несмотря на то, что с понятием площади мы хорошо знакомы из повседневной жизни, строгое определение этому понятию дать непросто. Оказывается, что площадью замкнутой фигуры можно назвать любую неотрицательную величину, обладающую следующими свойствами измерения площадей фигур:

Равные фигуры имеют равные площади. Если данную замкнутую фигуру разбить на несколько замкнутых фигур, то площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее фигур (фигура на рисунке 1 разбита на n фигур; в этом случае площадь фигуры , где Si – площадь i -ой фигуры).

В принципе, можно было бы придумать множество величин, обладающих сформулированными свойствами, а значит, характеризующих площадь фигуры. Но наиболее привычной и удобной является величина, характеризующая площадь квадрата как квадрат его стороны. Назовем эту «договоренность» третьим свойством измерения площадей фигур:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны (рисунок 2).

При таком определении площадь фигур измеряют в квадратных единицах (см 2, км 2, га =100м 2).

Фигуры , имеющие равные площади, называются равновеликими .

Замечание: Равные фигуры имеют равные площади, то есть равные фигуры равновелики. Но равновеликие фигуры далеко не всегда равны (например, на рисунке 3 изображены квадрат и равнобедренный треугольник, составленные из равных прямоугольных треугольников (кстати, такие фигуры называют равносоставленными ); понятно, что квадрат и треугольник равновелики, но не равны, поскольку не совмещаются наложением).

Далее выведем формулы для вычисления площадей всех основных видов многоугольников (в том числе всем известную формулу для нахождения площади прямоугольника), опираясь на сформулированные свойства измерения площадей фигур.

2. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма.

Формула для вычисления площади прямоугольника: Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон (рисунок 4).

Дано:

ABCD - прямоугольник;

AD =a , AB =b .

Доказать : SABCD =a ×b .

Доказательство:

1. Удлиним сторону AB на отрезок BP =a , а сторону AD – на отрезок DV =b . Построим параллелограмм APRV (рисунок 4). Поскольку ÐA =90°, APRV – прямоугольник. При этом AP =a +b =AV , Þ APRV – квадрат со стороной (a +b ).

2. Обозначим BC ÇRV =T , CD ÇPR =Q . Тогда BCQP – квадрат со стороной a , CDVT – квадрат со стороной b , CQRT – прямоугольник со сторонами a и b .

Формула для вычисления площади параллелограмма: Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на основание (рисунок 5).

Замечание: Основанием параллелограмма принято называть ту сторону, к которой проведена высота; понятно, что основанием может служить любая сторона параллелограмма.

Дано:

ABCD – п/г;

BH ^AD , H ÎAD .

Доказать: SABCD =AD ×BH .

Доказательство:

1. Проведем к основанию AD высоту CF (рисунок 5).

2. BC ïêHF , BH ïêCF , Þ BCFH - п/г по определению. ÐH =90°, ÞBCFH – прямоугольник.

3. BCFH – п/г, Þ по свойству п/г BH =CF , Þ DBAH =DCDF по гипотенузе и катету (AB =CD по св-ву п/г, BH =CF ).

4. SABCD =SABCF +S DCDF =SABCF +S DBAH =SBCFH =BH ×BC =BH ×AD . #

3. Площадь треугольника.

Формула для вычисления площади треугольника: Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на основание (рисунок 6).

Замечание: Основанием треугольника в данном случае называют сторону, к которой проведена высота. Любая из трех сторон треугольника может служить его основанием.

Дано:

BD ^AC , D ÎAC .

Доказать: .

Доказательство:

1. Достроим DABC до п/г ABKC путем проведения через вершину B прямой BK ïêAC , а через вершину C – прямой CK ïêAB (рисунок 6).

2. DABC =DKCB по трем сторонам (BC – общая, AB =KC и AC =KB по св-ву п/г), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Следствие 2: Если рассмотреть п/у DABC с высотой AH , проведенной к гипотенузе BC , то . Таким образом, в п/у D-ке высота, проведенная к гипотенузе, равна отношению произведения его катетов к гипотенузе . Это соотношение достаточно часто используется при решении задач.

4. Следствия из формулы для нахождения площади треугольника: отношение площадей треугольников с равными высотами или основаниями; равновеликие треугольники в фигурах; свойство площадей треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника.

Из формулы для вычисления площади треугольника элементарным образом вытекают два следствия:

1. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований (на рисунке 8 ).

2. Отношение площадей треугольников с равными основаниями равно отношению их высот (на рисунке 9 ).

Замечание: При решении задач очень часто встречаются треугольники с общей высотой. При этом, как правило, их основания лежат на одной прямой, а вершина, противолежащая основаниям – общая (к примеру, на рисунке 10 S 1:S 2:S 3=a :b :c ). Следует научиться видеть общую высоту таких треугольников.

Также из формулы для вычисления площади треугольника вытекают полезные факты, позволяющие находить равновеликие треугольники в фигурах:

1. Медиана произвольного треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (на рисунке 11 у DABM и DACM высота AH – общая, а основания BM и CM равны по определению медианы; отсюда следует, что DABM и DACM равновелики).

2. Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника (на рисунке 12 AO – медиана треугольника ABD по свойству диагоналей п/г, Þ в силу предыдущего св-ва треугольники ABO и ADO равновелики; т. к. BO – медиана треугольника ABC , треугольники ABO и BCO равновелики; т. к. CO – медиана треугольника BCD , треугольники BCO и DCO равновелики; таким образом, S DADO =S DABO =S DBCO =S DDCO ).

3. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника; два из них, прилежащие к боковым сторонам, равновелики (рисунок 13).

Дано:

ABCD – трапеция;

BC ïêAD ; AC ÇBD =O .

Доказать : S DABO =S DDCO .

Доказательство:

1. Проведем высоты BF и CH (рисунок 13). Тогда у DABD и DACD основание AD – общее, а высоты BF и CH равны; Þ S DABD =S DACD .

2. S DABO =S DABD ‑ S DAOD =S DACD ‑ S DAOD =S DDCO . #

Если провести диагонали выпуклого четырехугольника (рисунок 14), образуется четыре треугольника, площади которых связаны очень простым для запоминания соотношением. Вывод этого соотношения опирается исключительно на формулу для вычисления площади треугольника; однако, в литературе оно встречается достаточно редко. Будучи полезным при решении задач, соотношение, которое будет сформулировано и доказано ниже, заслуживает пристального внимания:

Свойство площадей треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника: Если диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O , то (рисунок 14).

ABCD – выпуклый четырехугольник;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Доказательство:

1. BF – общая высота DAOB и DBOC ; Þ S DAOB :S DBOC =AO :CO .

2. DH – общая высота DAOD и DCOD ; Þ S DAOD :S DCOD =AO :CO .

5. Отношение площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу: Площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы (рисунок 15).

Дано :

DABC , DA 1B 1C 1;

ÐBAC =ÐB 1A 1C 1.

Доказать:

.

Доказательство:

1. Отложим на луче AB отрезок AB 2=A 1B 1, а на луче AC – отрезок AC 2=A 1C 1 (рисунок 15). Тогда DAB 2C 2=DA 1B 1C 1 по двум сторонам и углу между ними (AB 2=A 1B 1 и AC 2=A 1C 1 по построению, а ÐB 2AC 2=ÐB 1A 1C 1 по условию). Значит, .

2. Соединим точки C и B 2.

3. CH – общая высота DAB 2C и DABC , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Свойство биссектрисы треугольника.

С использованием теорем об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, и об отношении площадей треугольников с равными высотами, просто доказывается исключительно полезный при решении задач факт, не имеющий непосредственного отношения к площадям фигур:

Свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Дано:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Доказательство:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Из пунктов 1 и 2 получаем: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Замечание: Поскольку в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены, свойство биссектрисы треугольника удобнее запоминать в следующем виде (рисунок 16): .

7. Площадь трапеции.

Формула для вычисления площади трапеции: Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований.

Дано:

ABCD – трапеция;

BC ïêAD ;

BH – высота.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Доказательство:

1. Проведем диагональ BD и высоту DF (рисунок 17). BHDF – прямоугольник, Þ BH = DF .

Следствие: Отношение площадей трапеций с равными высотами равно отношению их средних линий (или отношению сумм оснований).

8. Площадь четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями.

Формула для вычисления площади четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями: Площадь четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей.

ABCD – четырехугольник;

AC ^BD .

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Доказательство:

1. Обозначим AC ÇBD =O . Поскольку AC ^BD , AO – высота DABD , а CO – высота DCBD (рисунки 18а и 18б для случаев выпуклого и невыпуклого четырехугольников соответственно).

2.
(знаки «+» или «-» соответствуют случаям выпуклого и невыпуклого четырехугольников соответственно). #

Теорема Пифагора играет исключительно важную роль в решении самых разнообразных задач; она позволяет находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным его сторонам. Известно множество доказательств теоремы Пифагора. Приведем наиболее простое из них, опирающееся на формулы для вычисления площадей квадрата и треугольника:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

DABC – п/у;

ÐA =90°.

Доказать:

BC 2=AB 2+AC 2.

Доказательство:

1. Обозначим AC =a , AB =b . Отложим на луче AB отрезок BP =a , а на луче AC – отрезок CV =b (рисунок 19). Проведем через точку P прямую PR ïêAV , а через точку V – прямую VR ïêAP . Тогда APRV - п/г по определению. При этом поскольку ÐA =90°, APRV – прямоугольник. А т. к. AV =a +b =AP , APRV – квадрат со стороной a +b , и SAPRV =(a +b )2. Далее поделим сторону PR точкой Q на отрезки PQ =b и QR =a , а сторону RV – точкой T на отрезки RT =b и TV =a .

2. DABC =DPQB =DRTQ =DVCT по двум катетам, Þ ÐACB =ÐPBQ =ÐRQT =ÐVTC , BC =QB =TQ =CT , и https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Т. к. BC =QB =TQ =CT , CBQT – ромб. При этом ÐQBC =180°-(ÐABC +ÐPBQ )=180°-(ÐABC +ÐACB )=ÐBAC =90°; Þ CBQT – квадрат, и SCBQT =BC 2.

4. . Итак, BC 2=AB 2+AC 2. #

Обратная теорема Пифагора является признаком прямоугольного треугольника, т. е. позволяет по трем известным сторонам треугольника проверить, является ли он прямоугольным.

Обратная теорема Пифагора: Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, а его большая сторона является гипотенузой.

Дано:

BC 2=AB 2+AC 2.

Доказать: DABC – п/у;

ÐA =90°.

Доказательство:

1. Построим прямой угол A 1 и на его сторонах отложим отрезки A 1B 1=AB и A 1C 1=AC (рисунок 20). В полученном п/у DA 1B 1C 1 по теореме Пифагора B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+AC 2; но по условию AB 2+AC 2=BC 2; Þ B 1C 12=BC 2, Þ B 1C 1=BC .

2. DABC =DA 1B 1C 1 по трем сторонам (A 1B 1=AB и A 1C 1=AC по построению, B 1C 1=BC из п.1), Þ ÐA =ÐA 1=90°, Þ DABC - п/у. #

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются натуральными числами, называются пифагоровыми треугольниками , а тройки соответствующих натуральных чисел – пифагоровыми тройками . Пифагоровы тройки полезно помнить (большее из этих чисел равно сумме квадратов двух других). Приведем некоторые пифагоровы тройки:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 использовался в Египте для построения прямых углов, в связи с чем такой треугольник называют египетским .

10. Формула Герона.

Формула Герона позволяет находить площадь произвольного треугольника по трем его известным сторонам и является незаменимой при решении многих задач.

Формула Герона: Площадь треугольника со сторонами a , b и c вычисляется по следующей формуле: , где ‑ полупериметр треугольника.

Дано :

BC =a ; AC =b ; AB =c .). Тогда .

4. Подставим полученное выражение для высоты в формулу для вычисления площади треугольника: . #

Фигуры называют равными, если совпадает их форма и размеры. Из этого определения следует, например, что если заданные прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то они всё-равно не становятся равными фигурами, так как это разные фигуры по форме. Или, два круга однозначно имеют одну и туже форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры. Равными фигурами являются, например, два отрезка одинаковой длины, два круга с одинаковым радиусом, два прямоугольника с попарно равными сторонами (короткая сторона одного прямоугольника равна короткой стороне другого, длинная сторона одного прямоугольника равна длинной стороне другого).

На глаз бывает трудно определить, равны ли фигуры, имеющие одинаковую форму. Поэтому для определения равенства простых фигур их измеряют (с помощью линейки, циркуля). У отрезков длину, у кругов радиус, у прямоугольников длину и ширину, у квадратов только одну любую сторону. Тут следует отметить, что не все фигуры можно сравнивать. Нельзя, например, определить равенство прямых, т. к. любая прямая бесконечна и, следовательно, все прямые, можно сказать, равны между собой. То же самое касается лучей. Хотя у них есть начало, но нет конца.

Если же мы имеем дело со сложными (произвольными) фигурами, то бывает даже сложно определить, имеют ли они одинаковую форму. Ведь фигуры могут быть перевернуты в пространстве. Посмотрите на рисунок ниже. Трудно сказать, одинаковые ли это по форме фигуры или нет.

Таким образом, нужно иметь надежный принцип сравнения фигур. Он таков: равные фигуры при наложении друг на друга совпадают .

Чтобы сравнить две изображенные фигуры наложением, на одну из них накладывают кальку (прозрачную бумагу) и копируют (срисовывают) на нее форму фигуры. Копию на кальке пытаются наложить на вторую фигуру так, чтобы фигуры совпали. Если это удастся, то заданные фигуры равные. Если нет, то фигуры не равные. При наложении кальку можно поворачивать как угодно, а также переворачивать.

Если можно вырезать сами фигуры (или они представляют собой отдельные плоские объекты, а не нарисованы) то калька не нужна.

При изучении геометрических фигур можно заметить множество их особенностей, связанных с равенством их частей. Так, если сложить круг вдоль диаметра, то две его половинки окажутся равными (они совпадут наложением). Если разрезать прямоугольник по диагонали, то получится два прямоугольных треугольника. Если один из них повернуть на 180 градусов по часовой или против часовой стрелки, то он совпадет со вторым. То есть диагональ разбивает прямоугольник на две равные части.

Одним из основных понятий в геометрии является фигура. Под этим термином подразумевается множество точек на плоскости, ограниченное конечным числом линий. Некоторые фигуры могут рассматриваться как равные, что тесно связано с понятием движения. Геометрические фигуры могут рассматриваться не изолированно, а в том или ином соотношении друг с другом – их взаимное расположение, соприкосновение и прилегание, положение «между», «внутри», соотношение, выраженное в понятиях «больше», «меньше», «равно».Геометрия изучает инвариантные свойства фигур, т.е. те, которые остаются неизменными при тех или иных геометрических преобразованиях. Такое преобразование пространства, при котором остается неизменным расстояние между точками, составляющими ту или иную фигуру, называется движением.Движение может выступать в разных вариантах: параллельный перенос, тождественное преобразование, поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой или плоскости, центральная, поворотная, переносная симметрия.

Движение и равные фигуры

Если возможно такое движение, которое приведет к совмещению одной фигуры с другой, такие фигуры называют равными (конгруэнтными). Две фигуры, равные третьей, равны и между собою – такое утверждение было сформулировано еще Евклидом, основоположником геометрии.Понятие конгруэнтных фигур может быть объяснено и более простым языком: равными называются такие фигуры, которые полностью совпадут при наложении их друг на друга.Это достаточно легко определить, если фигуры даны в виде неких предметов, которыми можно манипулировать – например, вырезаны из бумаги, поэтому в школе на уроках нередко прибегают к такому способу объяснения данного понятия. Но две фигуры, начерченные на плоскости, нельзя физически наложить друг на друга. В данном случае доказательством равенства фигур выступает доказательство равенства всех элементов, составляющих эти фигуры: длина отрезков, размер углов, диаметр и радиус, если речь идет об окружности.

Равновеликие и равносоставленные фигуры

С равными фигурами не следует смешивать равновеликие и равносоставленные фигуры – при всей близости данных понятий.
Равновеликими называются такие фигуры, которые имеют равную площадь, если это фигуры на плоскости, или равный объем, если речь идет о трехмерны телах. Совпадение всех элементов, составляющих данные фигуры, не является обязательным. Равные фигуры будут равновеликими всегда, но не всякие равновеликие фигуры можно назвать равными.Понятие равносоставленности чаще всего применяют к многоугольникам. Оно подразумевает, что многоугольники можно разбить на одинаковое количество соответственно равных фигур. Равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.