Сравнения первой степени. Решение сравнений и их приложения Линейное сравнение

Сравнение с одним неизвестным x имеет вид

Где . Еслиa n не делится на m , то и называется степенью сравнения.

Решением сравнения называется всякое целое число x 0 , для которого

Если х 0 удовлетворяет сравнению, то, согласно свойству 9 сравнений, этому сравнению будут удовлетворять все целые числа, сравнимые с x 0 по модулю m . Поэтому все решения сравнения, принадлежащие одному классу вычетов по модулю т , будем рассматривать как одно решение. Таким образом, сравнение имеет столько решений, сколько элементов полной системы вычетов ему удовлетворяет.

Сравнения, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

2.2.1 Сравнения первой степени

Сравнение первой степени с одним неизвестным х имеет вид

(2.2)

Теорема2.4. Для того чтобы сравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы число b делилось на НОД(a , m ).

Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть d = НОД(a , m ) и х 0 - решение сравнения. Тогда, то есть разностьах 0 − b делится на т. Значит, существует такое целое число q , что ах 0 − b = qm . Отсюда b = ах 0 − qm . А поскольку d , как общий делитель, делит числа а и т, то уменьшаемое и вычитаемое делятся на d , а значит и b делится на d .

Теперь докажем достаточность. Пусть d - наибольший общий делитель чисел а и т, и b делится на d . Тогда по определению делимости существуют такие целые числа a 1 , b 1 ,т 1 , что.

Расширенным алгоритмом Евклида найдем линейное представление числа 1 = НОД(a 1 , m 1 ):

для некоторых x 0 , y 0 . Домножим обе части последнего равенства на b 1 d :

или, что то же самое,

,

то есть , и- решение сравнения. □

Пример2.10. Сравнение 9х = 6 (mod 12) имеет решение, так как НОД(9, 12) = 3 и 6 делится на 3. □

Пример2.11. Сравнение 6х = 9 (mod 12) не имеет решений, так как НОД(6, 12) = 6, а 9 не делится на 6. □

Теорема 2.5. Пусть сравнение (2.2) разрешимо и d = НОД(a , m ). Тогда множество решений сравнения (2.2) состоит из d классов вычетов по модулю т, а именно, если х 0 - одно из решений, то все другие решения - это

Доказательство. Пусть х 0 - решение сравнения (2.2), то есть и, . Значит, существует такое q , что ах 0 − b = qm . Подставляя теперь в последнее равенство вместо х 0 произвольное решение вида, где, получаем выражение

, делящееся на m . □

Пример 2.12. Сравнение 9х =6 (mod 12) имеет ровно три решения, так как НОД(9, 12)=3. Эти решения: х 0 = 2, х 0 + 4 = 6, х 0 + 2∙4=10.□

Пример2.13. Сравнение 11х =2 (mod 15) имеет единственное решение х 0 = 7,таккакНОД(11,15)=1.□

Покажем, как решать сравнение первой степени. Не умаляя общности, будем считать, что НОД(a , т) = 1. Тогда решение сравнения (2.2) можно искать, например, по алгоритму Евклида. Действительно, используя расширенный алгоритм Евклида, представим число 1 в виде линейной комбинации чисел a и т :

Умножим обе части этого равенства на b , получим: b = abq + mrb , откуда abq - b = - mrb , то есть a ∙ (bq ) = b (mod m ) и bq - решение срав­нения (2.2).

Еще один путь решения - использовать теорему Эйлера. Опять считаем, что НОД(а, т) = 1. Применяем теорему Эйлера: . Умножим обе части сравнения наb : . Переписывая последнее выражение в виде , получаем, что- решение сравнения (2.2).

Пусть теперь НОД(a , m ) = d >1. Тогда a = a t d , m = m t d , где НОД(а 1 , m 1) = 1. Кроме того, необходимо b = b 1 d , для того чтобы сравнение было разрешимо. Если х 0 - решение сравнения а 1 x = b 1 (mod m 1), причем единственное, поскольку НОД(а 1 , m 1) = 1, то х 0 будет решением и сравнения а 1 xd = db 1 (mod m 1), то есть исходного сравнения (2.2). Остальные d - 1 решений находим по теореме 2.5.

Определение 1. Если два числа 1) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p +r 1 . Тогда

(2)

Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 −r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 −r кратно p . Следовательно r 1 =r и s 1 =s .

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда

делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .

Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда

Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.

Свойства сравнений по модулю

Свойство 1. Для любого a и p всегда

не всегда следует сравнение

где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда

Так как m(a−b) делится на k , то

Следовательно

и m является один из делителей числа p , то

где h=pqs.

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.

Содержание.

Введение

§1. Сравнение по модулю

§2. Свойства сравнений

1. Свойства сравнений, не зависящие от модуля
2. Свойства сравнений, зависящие от модуля

§3. Система вычетов

1. Полная система вычетов
2. Приведённая система вычетов

§4. Теорема Эйлера и Ферма

1. Функция Эйлера
2. Теорема Эйлера и Ферма

Глава2. Теория сравнений с переменной

§1. Основные понятия, связанные с решением сравнений

1. Корни сравнений
2. Равносильность сравнений
3. Теорема Вильсона

§2. Сравнения первой степени и их решения

1. Метод подбора
2. Способы Эйлера
3. Метод алгоритма Евклида
4. Метод цепных дробей

§3. Системы сравнений 1-ой степени с одним неизвестным

§4. Деление сравнений высших степеней

§5. Первообразные корни и индексы

1. Порядок класса вычетов
2. Первообразные корни по простому модулю
3. Индексы по простому модулю

Глава3. Приложение теории сравнений

§1. Признаки делимости

§2. Проверка результатов арифметических действий

§3. Обращение обыкновенной дроби в конечную

десятичную систематическую дробь

Заключение

Литература

Введение

В нашей жизни часто приходится сталкиваться с целыми числами и задачами связанными с ними. В данной дипломной работе я рассматриваю теорию сравнения целых чисел.

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m называются сравнимыми по модулю m.

Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по–русски означает «мера», «величина».

Утверждение «а сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде a b (mod m) и называют сравнением.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке начали печатать в 1797 году, но книга вышла в свет лишь 1801 году из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоёмким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких – либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа.

Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных чисел 10 и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Целью данной работы является рассмотрение теории сравнений и исследование основных методов решения сравнений с неизвестными, а также изучение применения теории сравнений к школьной математике.

Дипломная работа состоит из трёх глав, причём каждая глава разбита на параграфы, а параграфы на пункты.

В первой главе изложены общие вопросы теории сравнений. Здесь рассматриваются понятие сравнения по модулю, свойства сравнений, полная и приведённая система вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера и Ферма.

Вторая глава посвящена теории сравнений с неизвестной. В ней излагаются основные понятия, связанные с решением сравнений, рассматриваются способы решения сравнений первой степени (метод подбора, способ Эйлера, метод алгоритма Евклида, метод цепных дробей, с помощью индексов), систем сравнений первой степени с одной неизвестной, сравнений высших степеней и др.

Третья глава содержит некоторые приложения теории чисел к школьной математике. Рассмотрены признаки делимости, проверка результатов действий, обращение обыкновенных дробей в систематические десятичные дроби.

Изложение теоретического материала сопровождается большим количеством примеров, раскрывающих суть вводимых понятий и определений.

Глава1. Общие вопросы теории сравнений

§1. Сравнение по модулю

Пусть z-кольцо целых чисел, m-фиксированное целое число и m·z-множество всех целых чисел, кратных m.

Определение 1. Два целых числа a и b называют сравнимыми по модулю m, если m делит a-b.

Если числа a и b сравнимы по модулю m, то пишут a b (mod m).

Условие a b (mod m) означает, что a-b делится на m.

a b (mod m)↔(a-b) m

Определим, что отношение сравнимости по модулю m совпадает с отношением сравнимости по модулю (-m) (делимость на m равносильно делимости на –m). Поэтому, не теряя общности, можно считать, что m>0.

Примеры.

Теорема. (признак сравнимости дух чисел по модулю m): Два целых числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда a и b имеют одинаковые остатки при делении на m.

Доказательство.

Пусть остатки при делении a и b на m равны, то есть a=mq₁+r, (1)

B=mq₂+r, (2)

Где 0≤r≥m.

Вычтем (2) из (1), получим a-b= m(q₁- q₂), то есть a-b m или a b (mod m).

Обратно, пусть a b (mod m). Это означает, что a-b m или a-b=mt, t z (3)

Разделим b на m; получим b=mq+r в (3), будем иметь a=m(q+t)+r, то есть при делении a на m получается тот же остаток, что и при делении b на m.

Примеры.

5=4·(-2)+3

23=4·5+3

24=3·8+0

10=3·3+1

Определение 2. Два или несколько чисел, дающие при делении на m одинаковые остатки, называются равноостаточным или сравнимыми по модулю m.

Примеры.

Имеем: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m², а (- m²) делится на m => наше сравнение верно.

1. Доказать, что следующее сравнения являются неверными:

Если числа сравнимы по модулю m, то они имеют с ним один и тот же НОД.

Имеем: 4=2·2, 10=2·5, 25=5·5

НОД(4,10) = 2, НОД(25,10) = 5, следовательно наше сравнение неверно.

§2. Свойства сравнений

1. Свойства сравнений, не зависящие от модуля.

Многие свойства сравнений аналогичны свойствам равенств.

а) рефлексивности: a a (mod m) (всякое целое число a сравнимо с самим собой по модулю m);

В) симметричности: если a b (mod m), то и b a (mod m);

С) транзитивности: если a b (mod m), а b с (mod m), то a с (mod m).

Доказательство.

По условию m/(a-b) и m/ (c-d). Следовательно, m/(a-b)+(c-d), m/(a+c)-(b+d) => a+c b+d (mod m).

Примеры.

Найти остаток при делении на 13.

Решение: -1 (mod 13) и 1 (mod 13), тогда (-1)+1 0 (mod 13), то есть остаток от деления на 13 равен 0.

a-c b-d (mod m).

Доказательство.

По условию m/(a-b) и m/(c-d). Следовательно, m/(a-b)-(c-d), m/(a-c)-(b-d) => (a-c) b-d (mod m).

1. (следствие свойств 1, 2, 3). К обеим частям сравнения можно прибавлять одно и то же целое число.

Доказательство.

Пусть a b (mod m) и k –любое целое число. По свойству рефлексиности

k=k (mod m), а согласно свойствам 2 и 3 имеем a+k b+k (mod m).

a·c ·d (mod m).

Доказательство.

По условию, a-b є mz, c-d є mz. Следовательно a·c-b·d = (a·c - b·c)+(b·c- b·d)=(a-b)·c+b·(c-d) є mz, то есть a·c ·d (mod m).

Следствие. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же целую неотрицательную степень: если а b (mod т) и s - целое неотрицательное число, то a s b s (mod m).

Примеры.

Решение: очевидно 13 1 (mod 3)

2 -1 (mod 3)

5 -1 (mod 3), тогда

- · 1-1 0 (mod 13)

Ответ: искомый остаток равен нулю, и А делится на 3.

Решение:

Докажем, что 1+ 0(mod13) или 1+ 0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

Так как 27 1 (mod 13), то 1+ 1+1·3+1·9 (mod 13).

ч.т.д.

3. Найдём остаток при делении с остатком числа на 24.

Имеем: 1 (mod 24), поэтому

1 (mod 24)

Прибавляя к обеим частям сравнения по 55, получаем:

(mod 24).

Имеем: (mod 24), поэтому

(mod 24) при любом k є N.

Следовательно (mod 24). Поскольку (-8) 16(mod 24), искомым остатком является 16.

1. Обе части сравнения можно умножать на одно и то же целое число.

2.Свойства сравнений, зависящие от модуля.

Доказательство.

Так как a b (mod т) , то (а - b) т. А так как т n , то в силу транзитивности отношения делимости (а - b n) , то есть а b (mod n).

Пример.

Найти остаток от деления 196 на 7.

Решение:

Зная, что 196= , можно записать 196 (mod 14). Воспользуемся предыдущим свойством, 14 7, получим 196 (mod 7), то есть 196 7.

1. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое положительное число.

Доказательство.

Пусть a b (mod т ) и с-целое положительное число. Тогда a-b = mt и ac-bc=mtc, или ac bc (mod mc).

Пример.

Выяснить, является ли значение выражения целым числом.

Решение:

Представим дроби в виде сравнений: 4 (mod 3)

1 (mod 9)

31 (mod 27)

Сложим почленно эти сравнения (свойство 2), получим 124 (mod 27) Мы видим, что 124 не делится целочисленно на 27, следовательно значение выражения тоже не является целым числом.

1. Обе части сравнения можно разделить на их общий множитель, если он взаимно простой с модулем.

Доказательство.

Если cа cb (mod m), то есть m/c(a-b) и число с взаимно простое с m, (с,m)=1, то m делит a-b. Следовательно, a b (mod т ).

Пример.

60 9 (mod 17), после деления обеих частей сравнения на 3 получим:

20 (mod 17).

Делить обе части сравнения на число, не взаимно простое с модулем, вообще говоря, нельзя, так как после деления могут получиться числа, несравнимые по данному модулю.

Пример.

8 (mod 4), но 2 (mod 4).

1. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.

Доказательство.

Если ka kb (mod km), то k (a-b) делится на km. Следовательно, a-b делится на m, то есть a b (mod т ).

Доказательство.

Пусть Р (х) = с 0 х п + с 1 х n-1 + ... + c n-1 x+ с n . По условию a b (mod т ), тогда

a k b k (mod m) при k = 0, 1, 2, …,n. Умножая обе части каждого из полученных n + 1 сравнений на c n-k , получим:

c n-k a k с n-k b k (mod m), где k = 0, 1, 2, …,n.

Складывая последние сравнения, получим: Р (а) Р (b) (mod m). Если а (mod m) и c i d i (mod m), 0 ≤ i ≤n, то

(mod m). Таким образом, в сравнении по модулю m отдельные слагаемые и множители можно заменять числами, сравнимыми по тому же модулю m.

Вместе с тем следует обратить внимание на то, что встречающиеся в сравнениях показатели степеней заменять таким образом нельзя: из

a n c(mod m) и n k(mod m) не следует, что а k с (mod m).

Свойство 11 имеет ряд важных применений. В частности, c его помощью можно дать теоретическое обоснование признаков делимости. Для иллюстрации в качестве примера дадим вывод признака делимости на 3.

Пример.

Всякое натуральное число N можно представить в виде систематического числа: N = а 0 10 n + а 1 10 n-1 + ... + а n-1 10 + а n .

Рассмотрим многочлен f (х) = а 0 х n + a 1 x n-1 + ... + а n-1 х+а n . Так как

10 1 (mod 3), то по свойству 10 f (10) f(1) (mod 3) или

N = а 0 10 n + а 1 10 n-1 + ... + а n-1 10 + а n а 1 + а 2 +…+ а n-1 + а n (mod 3), т. е. для делимости N на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3.

§3. Системы вычетов

1. Полная система вычетов.

Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.

Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq+r заставим q пробегать все целые числа.

Соответственно m различным значением r имеем m классов чисел по модулю m.

Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q=0, равный остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Вычет ρ, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.

Очевидно, при r имеем ρ=r; при r> имеем ρ=r-m; наконец, если m четное и r= , то за ρ можно принять любое из двух чисел и -m= - .

Выберем из каждого класса вычетов по модулю т по одному числу. Получим т целых чисел: х 1 ,…, х m . Множество {х 1 ,…, х т } называют полной системой вычетов по модулю m .

Так как каждый класс содержит бесчисленное множество вычетов, то можно составить бесчисленное множество различных полных систем вычетов по данному модулю т, каждая из которых содержит т вычетов.

Пример.

Составить несколько полных систем вычетов по модулю т = 5. Имеем классы: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

Составим несколько полных систем вычетов, взяв по одному вычету из каждого класса:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

и т. д.

Наиболее употребительны:

1. Полная система наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, т -1 В приведенном выше примере: 0, 1, 2, 3, 4. Такая система вычетов составляется просто: надо выписать все неотрицательные остатки, получающиеся при делении на m.
2. Полная система наименьших положительных вычетов (из каждого класса берётся наименьший положительный вычет) :

1, 2, …,m. В нашем примере: 1, 2, 3, 4, 5.

1. Полная система абсолютно наименьших вычетов. Вслучае нечетного m абсолютно наименьшее вычеты представляются рядом.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

а в случае четного m каким – либо из двух рядов

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

В приведенном примере:-2, -1, 0, 1, 2.

Рассмотрим теперь основные свойства полной системы вычетов.

Теорема 1 . Любая совокупность m целых чисел:

x l ,x 2 ,…,х m (1)

попарно не сравнимых по модулю m, образует полную систему вычетов по модулю m.

Доказательство.

1. Каждое из чисел совокупности (1) принадлежит некоторому классу.
2. Любые два числа x i и x j из (1) несравнимы между собой, т. е. принадлежат различным классам.
3. Всего в (1) m чисел, т. е. столько же, сколько имеется классов по модулю т.

х 1 ,х 2 ,…,х т - полная система вычетов по модулю m.

Теорема 2 . Пусть (а, т) = 1, b - произвольное целое число; тогда если х 1 ,х 2 ,…,х т -полная система вычетов по модулю m, то и совокупность чисел ах 1 + b, ах 2 + b,…, ах m + b тоже полная система вычетов по модулю m.

Доказательство.

Рассмотрим

Ах 1 + b, ах 2 + b,…, ах m + b (2)

1. Каждое из чисел совокупности (2) принадлежит некоторому классу.
2. Любые два числа ax i +b и ax j + b из (2) несравнимы между собой, то есть принадлежат различным классам.

Действительно, если бы в (2) имелись такие два числа, что

ax i +b ax j + b (mod m), (i = j), то получили бы ax i ax j (mod т). Так как (а, т) = 1, то свойству сравнений можно сократить обе части сравнения на а . Получаем x i x j (mod m).

По условию же x i x j (mod т) при (i = j) , так как х 1 ,х 2 , ..., х m - полная система вычетов.

1. Совокупность чисел (2) содержит т чисел, то есть столько, сколько имеется классов по модулю m.

Итак, ах 1 + b, ах 2 + b,…, ах m + b - полная система вычетов по модулю m.

Пример .

Пусть т = 10, а = 3, b = 4.

Возьмем какую-нибудь полную систему вычетов по модулю 10, например: 0, 1, 2,…, 9. Составим числа вида ах + b. Получим: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. Полученная совокупность чисел - полная система вычетов по модулю 10.

1. Приведённая система вычетов.

Докажем следующую теорему.

Теорема 1 .

Числа одного и того же класса вычетов по модулю m имеют с m один и тот же наибольший общий делитель: если a b (mod m), то (а, m) = (b, m).

Доказательство.

Пусть a b (mod m). Тогда а = b +mt, где t є z. Из этого равенства следует, что (а, т) = (b, т).

Действительно, пусть δ-общий делитель a и m, тогда a δ, m δ. Так как а = b +mt, то b=a-mt, следовательно b δ. Поэтому любой общий делитель чисел a и m является общим делителем m и b.

Обратно, если m δ и b δ, то а = b +mt делится на δ, a потому любой общий делитель m и b является общим делителем a и m. Теорема доказана.

Определение 1. Наибольший общий делитель модуля т и любого числа а из данного класса вычетов по т называется наибольшим общим делителем т и этого класса вычетов.

Определение 2. Класс вычетов а по модулю т называется взаимно простым с модулем m , если наибольший общий делитель а и т равен 1 (то есть если т и любое число из а взаимно просты).

Пример.

Пусть т = 6. Класс вычетов 2 состоит из чисел {..., -10,-4, 2, 8, 14, ...}. Наибольший общий делитель любого из этих чисел и модуля 6 равен 2. Значит, (2, 6) = 2. Наибольший общий делитель любого числа из класса 5 и модуля 6 равен 1. Значит, класс 5 взаимно прост с модулем 6.

Выберем из каждого класса вычетов, взаимно простого с модулем m, по одному числу. Получим систему вычетов, составляющую часть полной системы вычетов. Ее называют приведенной системой вычетов по модулю m .

Определение 3. Совокупность вычетов по модулю m, взятых по одному из каждого взаимно простого с т класса вычетов по этому модулю, называется приведенной системой вычетов.

Из определения 3 следует способ получения приведенной системы вычетов по модулю т: надо выписать какую-либо полную систему вычетов и удалить из нее все вычеты, не взаимно простые с m. Оставшаяся совокупность вычетов - приведенная система вычетов. Приведенных систем вычетов по модулю m, очевидно, можно составить бесчисленное множество.

Если в качестве исходной взять полную систему наименьших неотрицательных или абсолютно наименьших вычетов, то указанным способом получим соответственно приведенную систему наименьших неотрицательных или абсолютно наименьших вычетов по модулю m.

Пример.

Если т = 8, то 1, 3, 5, 7 - приведенная система наименьших неотрицательных вычетов, 1, 3, -3,-1 - приведенная система абсолютно наименьших вычетов.

Теорема 2.

Пусть число классов, взаимно простых с m, равно k. Тогда любая совокупность k целых чисел

попарно несравнимых по модулю m и взаимно простых с m, представляет собой приведенную систему вычетов по модулю m.

Доказательство

А) Каждое число совокупности (1) принадлежит некоторому классу.

1. Все числа из (1) попарно несравнимы по модулю т, то есть принадлежат различным классам по модулю m.
2. Каждое число из (1) взаимно просто с т, то есть все эти числа принадлежат различным классам, взаимно простым с модулем m.
3. Всего в (1) имеется k чисел, то есть столько, сколько должна содержать приведенная система вычетов по модулю m.

Следовательно, совокупность чисел (1) - приведенная система вычетов по модулю т.

§4. Функция Эйлера.

Теоремы Эйлера и Ферма.

1. Функция Эйлера.

Обозначим через φ (т) число классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, то есть число элементов приведенной системы вычетов по модулю т. Функция φ (т) является числовой. Ее называют функцией Эйлера.

Выберем в качестве представителей классов вычетов по модулю т числа 1, ... , т - 1, т. Тогда φ (т) - количество таких чисел, взаимно простых с т. Иными словами, φ (т) - количество положительных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m.

Примеры.

1. Пусть т = 9. Полная система вычетов по модулю 9 состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них взаимно просты с 9 числа 1,2,4, 5, 7, 8. Так как количество этих чисел равно 6, то φ (9) = 6.
2. Пусть т = 12. Полная система вычетов состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Из них взаимно просты с 12 числа 1, 5, 7, 11. Значит,

φ(12) = 4.

При т = 1 полная система вычетов состоит из одного класса 1. Общим натуральным делителем чисел 1 и 1 является 1, (1, 1) = 1. На этом основании полагают φ(1) = 1.

Перейдем к вычислению функции Эйлера.

1) Если т = р - простое число, то φ (р) = р- 1.

Доказательство.

Вычеты 1, 2, ... , р- 1 и только они взаимно просты с простым числом р. Поэтому φ (р) = р - 1 .

2) Если т = р к - степень простого числа р, то

φ(т) = (р - 1) . (1)

Доказательство.

Полная система вычетов по модулю т = р к состоит из чисел 1,..., p k - 1, р к Натуральные делители т являются степенями р. Поэтому число а может иметь общий делитель с m, отличный от 1 , лишь в случае, когда а делится на р. Но среди чисел 1 , ... , p k -1 на р делятся лишь числа р, 2р, ... , р 2 , ... р к , количество которых равно р к : р = р к-1 . Значит, взаимно просты с т = р к остальные р к - р к-1 = p k-l (p-1) чисел. Тем самым доказано, что

φ (р к ) = р к-1 (р-1).

Теорема 1.

Функция Эйлера мультипликативна, то есть для взаимно простых чисел m иn имеем φ (mn) = φ(m) φ (n).

Доказательство.

Первое требование в определении мультипликативной функции выполняется тривиальным образом: функция Эйлера определена для всех натуральных чисел, причем φ (1) = 1. Нам надо лишь показать, что если тип взаимно простые числа, то

φ (тп) = φ (т) φ (п). (2)

Расположим полную систему вычетов по модулю тп в виде п х т - матрицы

1 2 т

т + 1 т + 2 2т

………………………………

(п - 1) т+ 1 (п - 1) m + 2 пт

Поскольку т и п взаимно просты, то число х взаимно просто с тп тогда и только тогда, когда х взаимно просто с т и х взаимно просто с п . Но число km + t взаимно просто с т в том и только том случае, когда t взаимно просто с т. Поэтому числа, взаимно простые с m, располагаются в тех столбцах, для которых t пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Число таких столбцов равно φ (т). В каждом столбце представлена полная система вычетов по модулю п. Из этих вычетов φ (п) взаимно просты с п. Значит, общее количество чисел, взаимно простых и с т и с n, равно φ (т) φ (n )

(φ (т) столбцов, в каждом из которых берется φ (п) чисел). Эти числа, и только они, взаимно просты с тп. Тем самым доказано, что

φ (тп) = φ (т) φ (п).

Примеры.

№1 . Доказать справедливость следующих равенств

φ(4n) =

Доказательство.

№2 . Решить уравнение

Решение: так как (m)= , то = , то есть =600, =75, =3· , тогда х-1=1, х=2,

y-1=2, y=3

Ответ: х=2, y=3

Мы можем вычислить значение функции Эйлера (m), зная каноническое представление числа m:

m= .

В силу мультипликативности (m) имеем:

(m)= .

Но по формуле (1) получаем, что

-1), и поэтому

(3)

Равенство (3) можно переписать в виде:

Поскольку =m, то (4)

Формула (3) или, что то же самое, (4) и является искомой.

Примеры.

№1 . Чему равна сумма

Решение: ,

, =18 (1- ) (1- =18 , тогда = 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . На основании свойств числовой функции Эйлера доказать, что в последовательности натуральных чисел существует бесконечное множество простых чисел.

Решение: Пологая количество простых чисел конечным множеством, допустим, что - наибольшее простое число и пусть a= есть произведение всех простых чисел, на основании одного из свойств числовой функции Эйлера

Так как a≥ , то a – составное число, но так как его каноническое представление содержит все простые числа, то =1. Имеем:

=1 ,

что невозможно, и таким образом доказано, что множество простых чисел бесконечно.

№3 .Решить уравнение , где х= и =2.

Решение: Используем свойство числовой функции Эйлера,

,

и по условию =2.

Выразим из =2 , получим , подставим в

:

(1+ -1=120, =11 =>

Тогда х= , х=11·13=143.

Ответ: х= 143

2. Теорема Эйлера и Ферма.

В теории сравнений важную роль играет теорема Эйлера.

Теорема Эйлера.

Если целое число a взаимно простое с m, то

(1)

Доказательство. Пусть

(2)

есть приведённая система вычетов по модулю m.

Если a -целое число, взаимно простое с m, то

(3)

Два целых числа а и в сравнимы по модулю натурального числа m є N, если при делении на m они дают одинаковый остаток. .

Теорема (критерий сравнимости): . Следствие 1 : каждое число сравнимо по модулю m со своим остатком от деления на m: . Следствие 2: число сравнимо по модулю m, т. и т. т., к. оно делится на этот mod.

Основные свойства сравнения: 1). Относительные сравнения являются относительно эквивалентными. 2). Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно вычитать: . Слагаемое можно переносить из одной части в другую, при этом знак меняем на противоположный. 3). В каждой части сравнения можно прибавлять любое число, кратное модулю: сравнения по одному и тому же модулю можно почленно умножать. Следствия: 1. Обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень. 2. Обе части сравнения можно умножать на любое натуральное число. 4). Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число или сократить на любой их общий делитель. 5). Если сравнение имеет место по нескольким модулям то оно имеет место и по модулю, который равен их наибольшему кратному или наибольшему общему делителю

6). Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по любому

делителю числа m. 7). Общий делитель одной части сравнения и модуль является делителем другой части сравнения: , .

Малая теорема Ферма: если a и m – взаимнопростые числа, тогда . Функция Эйлера – это число положительных чисел, не превосходящие n и взаимнопростые с n. Если целое число a взаимнопростое с m, то . Теорема Эйлера : если целое число a взаимнопростое с m, то . Теорема Ферма: 1. Если целое число a не делит p, где р – простое, то . 2. Если р – простое и а –любое целое число, тогда . Отношение сравнимости – это классы эквивалентности. Классы эквивалентности также называются классами вычетов, а их эквивалентности называют вычетами.

Решение сравнений: Пусть , , mєN. Тогда называется сравнением к – степени с одним неизвестным и имеет не более, чем m классов решений. Решениями данного сравнения будут являться классы вычетов по модулю m. Сравнения первой степени с одной неизвестной можно записать в виде: если: 1). это сравнение не имеет решения (например 5x ). 2). Если решение этого сравнения. 3). .

Теорема: Пусть , , то , d – класов решений mod m. Методы решения сравнений: 1). Метод испытания полной системы вычетов. 2). Метод преобразования коэффициентов. Прибавляется или вычитается из правой части любое число, кратное модулю, заменяя коэффициенты в левой части на число сравнений с модулем. Можно преобразовать сравнения так, что его можно будет сократить на а и получить решение.

Рассмотрим сравнения первой степени вида

ax ≡ b(mod m),

Как решать такое сравнение? Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть а и m взаимно просты. Тогда несократимая дробь m/a сама просится разложиться в цепную дробь:

Эта цепная дробь, разумеется, конечна, так как m/a - рациональное число. Рассмотрим две ее последние подходящие дроби:

Вспоминаем важное свойство числителей и знаменателей подходящих дробей: mQ n-1 -aP n-1 =(-1) n . Далее (слагаемое mQ n-1 , кратное m , можно выкинуть из левой части

сравнения):

-aP n-1 ≡ (-1) n (mod m) т.е.

aP n-1 ≡ (-1) n-1 (mod m) т.е.

a[(-1) n-1 P n-1 b] ≡ b(mod m)

и единственное решение исходного сравнения есть:

x ≡ (-1) n-1 P n-1 b(mod m)

Пример. Решить сравнение 111x ≡ 75(mod 322).

Решение. (111, 322)=1. Включаем алгоритм Евклида:

322=111 · 2+100

(В равенствах подчеркнуты неполные частные.) Значит, n=4 , а соответствующая цепная

дробь такова:

Посчитаем числители подходящих дробей, составив для этого стандартную таблицу:

Числитель предпоследней подходящей дроби равен 29, следовательно, готовая формула

дает ответ: x ≡ (-1) 3 ⋅ 29 ⋅ 75 ≡ -2175 ≡ 79(mod 322)

Случай 2. Пусть (a,m)=d . В этом случае, для разрешимости сравнения ax ≡ b(mod m)

необходимо, чтобы d делило b , иначе сравнение вообще выполняться не может.

Действительно, ax ≡ b(mod m) бывает тогда, и только тогда, когда ax- b делится на m нацело, т.е.

ax- b=t · m , t ∈ Z, откуда b=ax- t ⋅ m , а правая часть последнего равенства кратна d .

Пусть b=db 1 , a=da 1 , m=dm 1 . Тогда обе части сравнения xa 1 d ≡ b 1 d(mod m 1 d) и его модуль поделим на d :

xa 1 ≡ b 1 (mod m 1) ,

где уже а 1 и m 1 взаимно просты. Согласно случаю 1 этого пункта, такое сравнение имеет единственное решение x 0 :

x ≡ x 0 (mod m 1) (*)

По исходному модулю m , числа (*) образуют столько решений исходного сравнения, сколько чисел вида (*) содержится в полной системе вычетов: 0,1,2,..., m-2, m-1 . Очевидно, что из чисел x = x 0 + t ⋅m в полную систему наименьших неотрицательных вычетов попадают только x 0 , x 0 + m 1 , x 0 +2m 1 , ..., x 0 +(d-1)m 1 , т.е. всего d чисел. Значит у исходного сравнения имеется d решений .

Подведем итог рассмотренных случаев в виде следующей теоремы

Теорема 1. Пусть (a,m)=d . Если b не делится на d , сравнение ax ≡ b(mod m) не имеет решений. Если b кратно d , сравнение ax ≡ b(mod m) имеет d штук решений.

Пример. Решить сравнение 111x ≡ 75(mod 321) .

Решение. (111,321)=3 , поэтому поделим сравнение и его модуль на 3:

37x ≡ 25(mod 107) и уже (37,107)=1 .

Включаем алгоритм Евклида (как обычно, подчеркнуты неполные частные):

Имеем n=4 и цепная дробь такова:

Таблица для нахождения числителей подходящих дробей:

Значит, x ≡ (-1) 3 ⋅ 26 ⋅ 25 ≡ -650(mod 107) ≡ -8(mod 107) ≡ 99(mod 107) .

Три решения исходного сравнения:

x ≡ 99(mod 321), x ≡ 206(mod 321), x ≡ 313(mod 321) ,

и других решений нет.

Теорема 2. Пусть m>1, (a,m)=1 Тогда сравнение ax ≡ b(mod m) имеет решение: x ≡ ba ϕ (m)-1 (mod m) .

Пример. Решить сравнение 7x ≡ 3(mod 10) . Вычисляем:

ϕ (10)=4; x ≡ 3 ⋅ 7 4-1 (mod 10) ≡ 1029(mod 10) ≡ 9(mod 10) .

Видно, что этот способ решения сравнений хорош (в смысле минимума интеллектуальных затрат на его осуществление), но может потребовать возведения числа а в довольно большую степень, что довольно трудоемко. Для того, чтобы как следует это прочувствовать, возведите самостоятельно число 24789 в степень 46728.

Теорема 3. Пусть р – простое число, 0Тогда сравнение ax ≡ b(mod p) имеет решение:

где – биномиальный коэффициент.

Пример. Решить сравнение 7x ≡ 2(mod 11) . Вычисляем:

Лемма 1 (Китайская теорема об остатках). Пусть дана простейшая система сравнений первой степени:

где m 1 ,m 2 ,...,m k попарно взаимно просты. Пусть, далее, m 1 m 2 ...m k =M s m s ; M s M s ∇ ≡ 1(mod m s) (Очевидно, что такое число M s ∇ всегда можно подобрать хотя бы с помощью алгоритма Евклида, т.к. (m s ,M s)=1 ); x 0 =M 1 M 1 ∇ b 1 +M 2 M 2 ∇ b 2 +...+M k M k ∇ b k . Тогда система (*) равносильна одному сравнению x ≡ x 0 (mod m 1 m 2 ...m k) , т.е. набор решений (*) совпадает с набором решений сравнения x ≡ x 0 (mod m 1 m 2 ...m k) .

Пример. Однажды средний товарищ подошел к умному товарищу и попросил его найти число, которое при делении на 4 дает в остатке 1, при делении на 5 дает в остатке 3, а при делении на 7 дает в остатке 2. Сам средний товарищ искал такое число уже две недели. Умный товарищ тут же составил систему:

которую начал решать, пользуясь леммой 1. Вот его решение:

b 1 =1 ; b 2 =3 ; b 3 =2 ; m 1 m 2 m 3 , т.е. M 1 =35, M 2 =28, M 3 =20 .

т.е. M 1 ∇ =3, M 2 ∇ =2, M 3 ∇ =6. Значит x 0 =35 ⋅ 3 ⋅ 1+28 ⋅ 2 ⋅ 3+20 ⋅ 6 ⋅ 2=513. После этого, по лемме 1, умный товарищ сразу получил ответ:

x ≡ 513(mod 140) ≡ 93(mod 140),

т.е. наименьшее положительное число, которое две недели искал средний товарищ, равно 93. Так умный товарищ в очередной раз помог среднему товарищу.

Лемма 2. Если b 1 ,b 2 ,...,b k пробегают полные системы вычетов по модулям m 1 ,m 2 ,...,m k соответственно, то x 0 пробегает полную систему вычетов по модулю m 1 m 2 ...m k .