Старт в науке. Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Саврушская средняя общеобразовательная школа

Похвистневский район Самарская область

Реферат по математике на тему:

«Уравнения с двумя

неизвестными

в целых числах »

Выполнили: Колесова Татьяна

Староверова Нина

у ченицы 10 класса

МОУ Саврушская СОШ

Похвистневского района

Самарской области.

Руководитель: Ятманкина Галина Михайловна

учитель математики.

Савруха 2011

Введение._______________________________________________3

1. Историческая справка _______________________________________5

1.1 Теоремы о числе решений линейных диофантовых уравнений___6

1.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах_________________ 6

1.3 Способы решения уравнений_______________________________ 7

Глава 2. Применение способов решения уравнений.

1. Решение задач_____________________________________________ 8

2.1 Решение задач с помощью алгоритма Евклида________________ 8

2.2 Способ перебора вариантов________________________________ 9

2.3 Метод разложения на множители___________________________ 9

2.4 Метод остатков__________________________________________ 12

2. Задачи экзаменационного уровня___________________________ 13

Заключение________________________________________________ 16

Список используемой литературы_____________________________ 17

« Кто управляет числами,

Тот управляет миром»

Пифагор.

Введение.

Анализ ситуации: Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ.

В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.

Проблема : Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.

Задачи: 1) Изучить учебную и справочную литературу;

2) Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

3) Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;

4) Описать способ решения.

5) Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.

6) Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из

материалов ЕГЭ-2010 С6.

Объект исследования : Решение уравнений

Предмет исследования : Уравнения с двумя переменными в целых числах.

Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.

1. Историческая справка.

Диофант и история диофантовых уравнений .

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения.

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х 0 , у 0

1.2. Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b ,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .

3. Найти целое решение (х 0 , у 0 ) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х 0 , у 0 – целое решение уравнения , - любое целое число.

1.3 Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Способ перебора вариантов.

2. Алгоритм Евклида.

3. Цепные дроби.

4. Метод разложения на множители.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Метод остатков.

7. Метод бесконечного спуска.

Глава 2. Применение способов решения уравнений

1. Примеры решения уравнений.

2.1 Алгоритм Евклида.

Задача 1 . Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11

2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х 0 = – 83 и у 0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.

4. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения

где t - любое целое число.

2.2 Способ перебора вариантов.

Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х : у = 9 – 2х.

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Метод разложения на множители.

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.

Задача 3. Решить уравнение в целых числах y 3 - x 3 = 91.

Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x )(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: .

Задача 5.

Решение. Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: .

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

Решение . Запишем данное уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:

Или , или , или .

Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.

Задача 7. Доказать, что уравнение (x - y ) 3 + (y - z ) 3 + (z - x ) 3 = 30 не

имеет решений в целых числах.

Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(x - y )(y - z )(z - x ) = 10…………………………(2)

2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 8. Решить уравнение: х 2 - у 2 =3 в целых числах.

Решение:

1. применим формулу сокращенного умножения х 2 - у 2 =(х-у)(х+у)=3

2. найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3

3. Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:

Х-у=1 2х=4 х=2, у=1

Х-у=3 х=2, у=-1

Х-у=-3 х=-2, у=1

Х-у=-1 х=-2, у=-1

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Метод остатков.

Задача 9 . Решить уравнение: х 2 +ху=10

Решение:

1. Выразим переменную у через х: у= 10-х 2

У = - х

2. Дробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10

3. Найдем 8 значений у.

Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3

Х=1, то у=9 х=5, то у=-3

Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9

Х=2, то у=3 х=10, то у=-9

Задача 10. Решить уравнение в целых числах:

2х 2 -2ху +9х+у=2

Решение:

выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у:

2х 2 +9х-2=2ху-у

У =

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.

Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п

Решение:

Выразим переменную п через переменную т

(у+10) 2 < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(у+6) 2 < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Ответ: (12; -8)

Заключение.

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки

В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач

Литература.

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва « Просвещение» 1985г.

2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.

3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г.

4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.

6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт

педагогических измерений.

7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение

задач. Москва 1986г.

4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными

В этом разделе рассматривается линейное уравнение

где `a`, `b`, `c` - целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).

Уравнения с целыми числами с двумя (и более) неизвестными наряду с большим количеством других интересных задач рассматривал в своей книге «Арифметика» греческий математик Диофант Александрийский (III в.). Такие уравнения были впоследствии названы его именем.

Докажите, что монетами в `2` и `5` рублей можно заплатить любую натуральную сумму рублей, кроме `1` и `3`.

Пусть сумма, которую нужно составить, равняется рублей, и мы заплатим её `x` монетами по `2` рубля и монетами по `5` рублей.

Отсюда получим уравнение `2x+5y=n`. Выразим `x` через `y`: `x=(n-5y)/2`.

Наша задача - найти хотя бы одно решение этого уравнения в целых неотрицательных числах. Если `n` делится на `2`, то в качестве такого решения можно взять `y=0`, `x=n//2`. Если же `n` не делится на `2`, то можно взять `y=1`, `x=(n-5)/2`. Здесь `x` не будет являться отрицательным, если `b>=5`. Таким образом, любую натуральную сумму рублей, кроме `1` и `3` можно заплатить монетами в `2` и `5` рублей.

Замечание

Если же в этой задаче разрешить давать сдачу (также только монетами `2` и `5` рублей), то тогда можно будет с учётом сдачи заплатить любую сумму рублей.

Перейдём к решению уравнения `ax+by=c`.

Уравнение `ax+by=c` имеет бесконечное множество целочисленных решений, если `c` делится на `"НОД"(a,b)` и не имеет целочисленных решений в противном случае.

Условие «`c` делится на `"НОД"(a,b)`», частности, всегда выполнено, когда числа `a` и `b` взаимно просты.

Диофантово уравнение `ax+by=c` можно решать по следующему алгоритму:

1. Разделим обе части уравнения `ax+by=c` на `"НОД"(a,b)`. Числа `a` и `b`, поделённые на свой НОД, станут взаимно простыми. Если число `c`, разделённое нацело на `"НОД"(a,b)`, не является целым, то уравнение решений не имеет (слева стоит целое число, справа - нецелое).
Таким образом, мы пришли к равносильному уравнению `bar(a)x+bar(b)y=bar(c)`, где `"НОД"(bar(a),bar(b))=1`.

2. Итак, пусть теперь есть уравнение `ax+by=c`, где числа `a` и `b` являются взаимно простыми. Найдём какое-то одно (так называемое «частное») решение этого уравнения - `(x_0,y_0)` . Это можно сделать путём подбора или с помощью алгоритма Евклида (см. конец этого раздела).

3. Выпишем ответы: x = x 0 - b t y = y 0 + a t , t ∈ ℤ . \left\{\begin{array}{l}x=x_0-bt\\y=y_0+at\end{array}\right.,\:t\in\mathbb{Z}.

Почему все ответы имеют такой вид?

Пусть `(x_0,y_0)` - решение уравнения `ax+by=c`. Рассмотрим выражение `a(x-x_0)+b(y-y_0)`. Оно равняется нулю:

`a(x-x_0)+b(y-y_0)=ax+by-(ax_0+by_0)=c-c=0`.

Таким образом, числа `x-x_0` и `y-y_0` являются решениями уравнения `aX+bY=0`. Перепишем это уравнение в виде `aX=-bY`. Так как числа `a` и `b` - взаимно просты, число `Y` должно делиться на число `a`, т. е. `Y=at` при каком-то целом `t`. Подставим `Y` в уравнение `aX=-bY`, получим `aX=-bat`, что в свою очередь после сокращения на `a` преобразуется к виду `X=-bt`.

Итак, x - x 0 = - b t , y - y 0 = a t , \left\{\begin{array}{l}x-x_0=-bt,\\y-y_0=at,\end{array}\right. откуда и получаем выписанные в п. 3 ответы.

Решите уравнение `10x+4y=100`.

Разделим обе части уравнения на `"НОД"(10,4)=2`, получив уравнение `5x+2y=50`. Подбором получаем частное решение `x_0=10`, `y_0=0`.

Затем выпишем все решения этого уравнения: x = 10 - 2 t y = 5 t , t ∈ ℤ . \left\{\begin{array}{l}x=10-2t\\y=5t\end{array}\right.,\:t\in\mathbb{Z}.

x = 10 - 2 t y = 5 t , t ∈ ℤ . \left\{\begin{array}{l}x=10-2t\\y=5t\end{array}\right.,\:t\in\mathbb{Z}.

Опишем процесс нахождения «частного» решения с помощью алгоритма Евклида на примере диофантова уравнения `7x+18y=2`.

Найдите частное решение уравнения `7x+18y=2`.

Для начала найдём частное решение уравнения `7x+18y=1`, затем, домножим полученное решение на `2`, получим частное решение уравнения `7x+18y=2`.

Найдём `"НОД"(18,7)` с помощью алгоритма Евклида. `18=7*2+4`, поэтому `"НОД"(18,7)= "НОД"(7,4)`. Будем записывать каждое новое число, к которому мы приходим, выполняя алгоритм Евклида, в виде `7x+18y`. Так, `4 = 18 - 7*2`.

Затем `"НОД"(7,4) = "НОД"(4,3)`, где `3 = 7 - 4 = 7- (18 -7*2) = 7*3 - 18`.

Наконец, `"НОД"(4,3) = "НОД"(3,1) = 1`, причём

`1 = 4 - 3 = (18 - 7×2) - (7*3 -18) = 18*2 - 7×5`.

Вот, мы получили частное решение уравнения `7x+18y=1:` `x=-5, y=2`.

Отсюда частное решение уравнения `7x+18y=2` имеет вид `x_0=-10, y_0=4`.

Решая задачу другими способами, можно найти и другие частные решения.

Например, `x_0=8, y_0=-3`.

`x=-10, y=4`.*

4.2. Примеры решения нелинейных уравнений

Пример 21 (ЕГЭ, тренировочный вариант)

Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на `7` человек меньше, чем в автобус типа А.

Пусть в автобус типа В входит `x` человек (тогда в автобус типа А входит `x+7` человек), и автобусы типа B должны совершить `y` рейсов (тогда автобусы типа A должны совершить `y+1` рейс). По условию задачи составим выражение для количества детей, перевезённых обоими способами:

`2(x+7)(y+1)=3xy`.

Выразим переменную этого выражения через `y`.

`14y+2x+14-xy=0`; `x=(14y+14)/(y-2)`.

Выделим целую часть числа:

`(14y+14)/(y-2)`; `x=(14y+14)/(y-2)=14+42/(y-2)`.

Напомним, число `x` должно быть целым, отсюда получаем, что число `(y-2)` должно быть делителем числа `42`.

Переберём все делители числа `42` и выясним, какое максимальное количество детей `(3xy)` можно увезти:

`y-2`
`y`
`x`
`3xy`

Максимальное количество школьников, которое можно перевезти согласно условиям задачи, равно `1980`.

Решите в целых числах уравнение `xy=5(x+y)`.

Перепишем уравнение в виде: `xy-5x-5y=0`;

`x(y-5)-5(y-5)-25=0`; `(x-5)(y-5)=25`.

Заметим, что `25` можно разложить на множители (в том числе отрицательные) только следующими способами:

`25=1*25=5*5=(-1)*(-25)=(-5)*(-5)`.

Из каждого из разложений получаем решения.

`(x,y)=(6,30);(30,6);(10,10);(4,-20);(-20,4);(0,0)`.

Решите в целых числах уравнение `x^2=2y^2+xy+7`.

Перепишем это уравнение в виде: `(x+y)(x-2y)=7`.

Это разложение можно получить следующим образом: запишем выражение `x^2-xy-2y^2=0` и вынесем `y^2` за скобки: `y^2[(x/y)^2-x/y-2]`.

Т. к. `(x+y)` и `(x-2y)` - целые числа, то нужно посмотреть на разложение числа `7` на два целых множителя. Возможные разложения выпишем в таблицу:

`x+y=`	`7`	`1`	`-7`	`-1`
`x-2y=`	`1`	`7`	`-1`	`-7`

Получаются `4` системы линейных уравнений. Решим одну из них (первую):

x + y = 7 , x - 2 y = 1 . \left\{\begin{array}{l}x+y=7,\\x-2y=1.\end{array}\right.

Получим: `x=5, y=2`.

Остальные системы выписываются аналогично, и все полученные решения будут являться целыми.

`(x,y)=(5,2);(-5,-2);(3;-2);(-3,2)`.

В обоих примерах мы раскладывали многочлен на множители и использовали свойства делимости.

Решите в целых числах уравнение `x^3-xy-7x+2y+23=0`.

В это уравнение переменная `y` входит в первой степени, выразим её через `x:`

`x^3+y(2-x)-7x+23=0, y=(x^3-7x+23)/(x-2)`.

Сделаем замену: `t=x-2`. Тогда `x=t+2`; `x^3=t^3+6t^3+12t+8` и, следовательно,

Разложив левую часть, получим `(1+x)(1+x^2)=2^y`.

Т. к. числа `x` и `x^2` - натуральные, `1+x>=2`; `1+x^2>=2`, значит, оба числа - `(1+x)` и `(1+x^2)` являются натуральными степенями двойки. Пусть `1+x=2^t`. Выразив из этого уравнения `x`, получим, `1+x^2=2^(2t)-2*2^t+2`. Это число также должно являться степенью двойки.

Если `t=1`, то `(x,y)=(1,2)` - решения нашего уравнения.

Если `t=2`, то `1+x^2=10`, что не является степенью двойки; решений в данном случае нет.

Если `t>=3`, то `2*2^t-2>0` и `2^(2t)-2*2^t+2<2^(2t)`. Докажем, что `2^(2t)-2*2^t+2>2^(2t-1)`. Это неравенство можно переписать в виде

`2^(2t-1)=2^(2t)-2^(2t-1)>2*2^t-2; 2^(2t-2)>2^t-1`.

Последнее неравенство является верным, т. к. при `t>=3` верно `2t-2>t`, что приведёт к неравенству `2^(2t-2)-2^t>0> -1`.

Таким образом, мы получили, что число `1+x^2=2^(2t)-2*2^t+2` заключено строго между двумя соседними степенями двойки, `2^(2t-1)<2^(2t)-2*2^t+2<2^(2t)`, а, значит, само степенью двойки не является. Противоречие, решений при `t>=3` нет.

На этапе подготовки к Единому государственному экзамену по математике ученикам старших классов необходимо обратить особое внимание на некоторые темы. В их числе решение уравнений и задач в целых числах. Опыт прошлых лет показал, что такие задания вызвали у выпускников особые затруднения. Поэтому, независимо от уровня подготовки, советуем более тщательно подойти к занятиям, обратившись к нашему порталу.

Сдавайте экзаменационное тестирование на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш онлайн-сервис предлагает инновационный метод подготовки к итоговой аттестации. Школьные пособия не всегда находятся под рукой, а разделы в них предусматривают только повторения типовых заданий. Обращаясь к «Школково», ученики не будут испытывать проблем с поиском необходимых правил и формул для решения уравнений в целых числах. Преподаватели нашего онлайн-сервиса тщательно систематизировали и подали в наиболее доступном виде всю информацию по теме. Поэтому ученикам выпускных классов понадобиться минимальное количество времени на повторение пройденных материалов. Кроме того, каждый день школьники смогут получать новую подборку упражнений, соответствующую их текущим знаниям и навыкам.

Мы предлагаем начать с раздела «Теоретическая справка». В нем представлены все необходимые данные для подготовки к выполнению заданий. После этого переходите к разделу «Каталоги». Там вы найдете множество упражнений различного уровня сложности. Список примеров постоянно обновляется и дополняется, поэтому у вас не будет недостатка в новых заданиях. Советуем начать с самых простых и постепенно переходить к более трудным. Таким образом вы сможете выявить свои наиболее слабые стороны и сделать упор на конкретных типах заданий. Если вы видите, что примеры низкого уровня сложности не вызывают у вас никаких проблем, можете пропустить их и приступить к решению уравнений в целых числах уровня ЕГЭ.

Если какой-то пример вызвал особое затруднение, добавьте его в «Избранное». Так вы сможете вернуться к нему позже, заручившись поддержкой преподавателя или попробовать выполнить его самостоятельно после повторения правил.

Для того чтобы подготовка была более результативной, советуем обращаться к порталу «Школково» ежедневно. Уже после нескольких занятий вы заметите, что вам стали просто даваться даже примеры, ранее вызывавшие непонимание и сложности.

Обратите внимание, что на нашем сайте могут проходить подготовку к ЕГЭ абсолютно все желающие. Чтобы сохранить прогресс и каждый день получать индивидуальные задания, зарегистрируйтесь в системе. Желаем приятной подготовки!

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика , который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику . Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод остатков;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(х – x 0) + 7(у – y 0) = 0,

5(х – x 0) = –7(у – y 0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x 0 = 7k, у – y 0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе ), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

x 2 + 2y 2 = x 3

или, иначе,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Ответ: существует.

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

и исходное уравнение примет вид

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x 1 , y 1 , z 1 , u 1 нечётны, то x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 не делится даже на 4. Значит,

x 1 = 2x 2 , y 1 = 2y 2 , z 1 = 2z 2 , u 1 = 2u 2 ,

и мы получаем уравнение

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

Очевидно, что

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х 1 = 1, у 1 = 1;

х 2 = 1, у 2 = –1;

х 3 = 3, у 3 = 3;

х 4 = 3, у 4 = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

Складывая эти неравенства, получим, что

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х 1 = 0, у 1 = 0;

х 2 = 0, у 2 = –1;

х 3 = –1, у 3 = 0;

х 4 = –1, у 4 = –1.

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х 5 = 5, х 6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х 5 = 5, у 5 = 2;

х 6 = –6, у 6 = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)